$o(a)=o(a^{-1}), \forall a\in G$

Question

G bir grup olacak şekilde, $a^{-1}$: a'nın tersi

$o(a)=o(a^{-1}), \forall a\in G$

Aslında ispatı yaptığımı düşündüm ama içime sinmeyen bir kısım var. Size o kısmı sormak istedim.

$|a|=n$ olsun o halde $a^n=e$, dahası $e= (a^{-1})^n$ (eşitliğin sol tarafını n defa $a^{-1}$ ile çarptım.)

Buradan hemencecik $|a^{-1}|=n$ demiştim ama sonrasında dediğim gibi içime sinmedi. $(a^{-1})^n=e$ oldu diye mertebe n olacak diye bir garanti yok. $i \in Q_8, i^{100}=i^{60}=i^{24}=i^4=1$ ama i'nin mertebesi 4.

Comments

Cevaba bakarsan sadece bir kısmı için başlangıç yapmışsın.
Diğeri de simetrik zaten.

Answer 1

$o(a)=n$ ve $o(a^{-1})=m$ olsun.

(1) $(a^{-1})^n=(a^{n})^{-1}=1$ olduğundan $m\mid n$ ve
(2) $a^m=((a^{-1})^m)^{-1}=1$ olduğundan $n\mid m$ olur.

$n$ ve $m$ pozitif olduğundan $m=n$ sağlanır.