Cayley-Hamilton Teoremi

Question

$A$ bir matris olsun, $P$ ise matrisin karakeristik polinomu olsun. Cayley Hamilton teoremi yanilmiyorsam $P(A)=0$ diyor. Bu teoremi kullanarak matrislerin uslerini hesaplamaya basladim. Asagida yaptigim bir ornegi gorebilirsiniz:

 

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$P(\lambda) =\lambda^2 -5\lambda -2$

$P(A)=0$

$A^2 = 2 + 5 A$

$A^{-1} = (2\mathbb{I})^{-1}(A - 5\mathbb{I})$

seklinde sonuclar elde ettim rastgele bir matriks icin. Acikcasi matrisin tersini boyle hesaplamak gauss eliminasyon yoneminden daha kolay geldi ama bu durum boyle mi olacak ? $n\times n$ bir matris icin bu yontemle tersini hesaplamak kac islem gerektirir ?