Hocam öncelikle yanıtınız için çok teşekkür ederim. Kanıtınızı anladım. Diğer tarafı olmayana ergi yöntemiyle şu şekilde gösterdim: $$\forall k\in {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}$$ alalım. Neyi merak ediyoruz? $$k$$$${{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$ kümesine düşer mi düşmez mi? Eğer $$k\in {{U}^{\bot }}$$ veya $$k\in {{W}^{\bot }}$$ ise $$k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$ olacağı açıktır $$(k\in {{U}^{\bot }}\Rightarrow k=k+0\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}\,veya\,\,k\in {{W}^{\bot }}\Rightarrow k=0+k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }})$$.
$$k\notin {{U}^{\bot }}$$ ve $$k\notin {{W}^{\bot }}$$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $$k\notin {{U}^{\bot }}\cap {{W}^{\bot }}\Rightarrow k\notin {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}\,\,\left( {{U}^{\bot }}\cap {{W}^{\bot }}\subseteq {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}\,oldu\breve{g}undan \right)$$
Çelişki! $$k\in {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}$$ idi. O hâlde $$k\in {{U}^{\bot }}$$ veya $$k\in {{W}^{\bot }}$$ dir. O hâlde $$k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$dir. Kanıt biter.