Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
55 kez görüntülendi
$U$ ve $W$ sonlu boyutlu bir $V$ vektör uzayının iki alt vektör uzayı olsun. $ U^\perp+W^\perp=(U\cap W)^\perp$ 'dir. Kanıtlayınız.
Lisans Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından  | 55 kez görüntülendi
Sen  bu soruda ne(ler) düşündün/denedin @Gökhan ?
Bir kümenin ortogonal tümleyeni ve  iki alt vektör uzayının toplamı tanımlarını kullanarak iki kümenin eşitliğini göstermeye çalıştım. Her bir kümeden bir eleman alıp diğerinin de elemanı olduğunu göstermek istedim. Yapamadım.
Biraz açık yazmak iyi olur.

Kesişim $V$ olsun.
Her $u\in U$ için $su=0$ ve
her $w\in W$ için $tw=0$ ise
her $v\in V$ için $(s+t)v=sv+tv=0+0=0$ olur.

Kalan kısmı nasıl tamamlarsın?
Hocam öncelikle yanıtınız için çok teşekkür ederim. Kanıtınızı anladım. Diğer tarafı olmayana ergi yöntemiyle şu şekilde gösterdim: $$\forall k\in {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}$$ alalım. Neyi merak ediyoruz? $$k$$$${{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$ kümesine düşer mi düşmez mi? Eğer $$k\in {{U}^{\bot }}$$ veya $$k\in {{W}^{\bot }}$$ ise  $$k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$ olacağı açıktır $$(k\in {{U}^{\bot }}\Rightarrow k=k+0\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}\,veya\,\,k\in {{W}^{\bot }}\Rightarrow k=0+k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }})$$.

$$k\notin {{U}^{\bot }}$$ ve $$k\notin {{W}^{\bot }}$$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $$k\notin {{U}^{\bot }}\cap {{W}^{\bot }}\Rightarrow k\notin {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}\,\,\left( {{U}^{\bot }}\cap {{W}^{\bot }}\subseteq {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}\,oldu\breve{g}undan \right)$$

Çelişki! $$k\in {{\left( U\cap W \right)}^{\bot }}$$ idi. O hâlde $$k\in {{U}^{\bot }}$$ veya $$k\in {{W}^{\bot }}$$ dir. O hâlde $$k\in {{U}^{\bot }}+{{W}^{\bot }}$$dir. Kanıt biter.
Sonlu boyut için biri diğerini içeriyorsa boyutlarının eşitliğini göstererek de sonuca varabiliriz.
20,208 soru
21,732 cevap
73,299 yorum
1,902,686 kullanıcı