Question

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n})=?$

$\lim_{n\to \infty} n.\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n})=\lim_{n\to \infty} n.\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+n}\frac{1-0}{n}$

$=\lim_{n\to \infty} n. \int_{0}^{1} \frac{1}{x}dx = \infty$ dedim. Yaptıklarm doğru mu?

Comments

İntegralin sınırlarına nasıl karar verdiniz?

EK: Oluşturduğunuz toplam bir Riemann toplamı değil.

---

Hocam, evet yanlış yapmışım sanırsam şu şekilde olacak.

$\Delta x= b-a /n $ ve $f(x_i)= a + i.\Delta x_i $

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n})=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i+n}=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{n}\dfrac{1}{\left( \dfrac{i}{n}\right) +1}$

demekki $a=0$ bundan dolayı $b=1$. $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$

$\int ^{1}_{0}\dfrac{1}{x+1}dx=ln2$