Sonlu Düzlemlerde Çemberler, Konikler ve benzerleri

Question

Öklid'in Elemanlar kitabındaki ilk önerme verilen iki noktayı köşe kabul eden bir eşkenar üçgen çizilebileceği. Ancak bu önermenin verilen aksiyomlarla kanıtlanamayacağını söyleyen akıl yürütme şöyle: $\mathbb{Q}^2$ Öklid aksiyomlarının bir modeli ama bu önerme doğru değil.

Bu gerçek beni sarstı ve Öklid aksiyomlarının başka modellerini bulmaya çalıştım. En ilgimi çeken örnek olan sonlu projektif düzlemlerle işe başladım ama Öklidin çember aksiyomu kafamı epey karıştırdı.

Sonlu geometriler üzerinde metrik olmayan geometriler midir? Geometrinin temeli metrik değil midir? Eğer metrik varsa sonlu düzlemlerde çemberler konikler var mıdır?

Comments

Geometrinin temeli metrik degil midir ?

Degildir efendim projektif geometride metrikten bahsetmeyiz. Cizgilerin ve noktalarin konfigurasyonlarindan bahsederiz.

Ikinci sorunuzla ilgili olarak sonlu geometrilerden kastinizin ne oldugunu sormak isterim. Sonlu bir kume uzerinde metrik ozelligi tanimlayan bir fonksiyon tanimladiktan sonra neden cemberlerden bahsedemeyelim? Ornek olarak ${0,1,2,\cdots2^n}$ kumesi uzerinde $xor$ metrigine bakabilirsiniz. Cemberler tek elemanli oluyor. bir yerlerde sorusu olacak buralarda

---

Ben bir yazıda geometride metrik temeldir, topolojide metrik önemsenmez gibi bir şey okumuştum. Ondan öyle düşünmüşüm.

Peki Öklid aksiyomlarının ne gibi modelleri vardır başka?

---

ya acikcasi neye geometri diyoruz ben de bilmiyorum. Yer olcumu galiba direk cevirisi, icinde metrik te geciyor sanki metrik geometrinin sartiymis gibi dusunuluyor hakkaten. geometri lokaldir topoloji globaldir gibi seyler duymustum ama tam kaynak veremeyecegim ama sanirim kastedilen geometri daha cok differensiyal geometri idi. Simdi soyleyecegim seyler cok yalan ve yanlis olabilir ama bildigim kadariyle Felix Klein  Erlangen Programi adi altinda geometriyi anlamak icin geometrinin simetrilerini inceleyelim gibi bir atilim baslatiyor. Sanirim bu programda projektif geometrinin en "temel" geometri oldugu ortaya cikiyor. Bu konuda cok bilgi sahibi degilim o yuzden soylediklerimi lutfen kendiniz arastirin.

Maalesef model ne demek bilmiyorum, kafamda bir seyler var ama emin degilim. Biraz daha acabilir misiniz?

---

Öneriniz için çok teşekkür ederim, araştırıyorum.

Model derken şunu demek istedim: bir kümemiz olsun (nokta gibi yorumlayalım) ve noktalardan oluşan bazı kümelere doğru diyelim. Doğrunun noktayı içermesi ilişkisiyle beraber oluşan yapıda Öklid aksiyomları doğru oluyorsa bir modeli diyelim.

Bildiğim modeller $(\mathbb{R}^2,\in)$ ve $(\mathbb{Q}^2,\in)$. Başka modeller aramaya çalışıyorum. Sonlu afin düzlemler bir aday gibi geldi ama çemberle ilgili şeyler kafamı karıştırdı.

---

icimden bir ses $(\mathbb{C},\in)$ de istediginiz seyi saglayacak diyor

---

Reel anlamda doğruları alırsak, evet. Ama ilk örneğe izomorf oluyor gibi.

---

Oklid geometrisi olmayacak ama su ornekte (dual sayilar) hos bir geometri veriyor

Reel sayilar kumesine $\epsilon$ adi altinda yeni bir sayi ekleyelim. $\epsilon^2 = 0$ ve $\epsilon \neq 0$ olsun.

---

Sanırım bu şekilde domain bile olmuyor. En azından division ringlerle düşünmeye alışık olduğum için garip geldi.

Nonstandart reel sayıların vereceği geometri de ilginç olmalı, örneğinizden aklıma geldi.

---

Su kitap ilginizi cekebilir en azindan girisi