Sonlu cisimlerin sınıflandırılması

Question

$p$ bir asal olmak üzere, karakteristiği $p$ olan $q=p^n$ elemanlı tüm cisimler nelerdir?

Comments

Her bir $q=p^n$ icin biricik cisim vardir, o da $x^q-x$ polinomunun $\mathbb F_p$ uzerideki  acilma cismidir (splitting field).

Istenen bu mu?

---

Bu cisimler bahsettiğiniz polinomun splitting field'ına izomorf oluyorlar. Benim öğrenmek istediğim bu cismi $\mathbb Z_p$ lerin çarpımı olarak düşünebilir miyiz, başka ihtimal var mı?

---

$F \subset K$ sonlu cisimler ise $K$ cismi $F$ cismi uzerinde vektor uzayidir.

$f$ polinomu $\mathbb F_p$ uzerinde $n$. dereceden indigenemez bir polinom ise bu $f$ polinomuna denk gelen $n \times n$ companion matris ($C$) ile carpim grubunu gerebiliriz. Yani $x^{q-1}-1$ bu matrisin minimal polinomu.

---

O zaman şöyle sorayım, $p$ bir asal olmak üzere, karakteristiği $p$ olan ve $q=p^n$ elemanlı tüm cisimleri $\mathbb Z_p$ lerin çarpımına izomorf olarak düşünebilir miyiz?

---

Izomorfizma derken ne izomorfizmasi? $\mathbb{Z}_p$'lerin carpimi derken bildigimiz carpma mi?

Sonlu cisimler $\mathbb{Z}_p$'lerin carpimina vektor uzayi olarak izomorftur. Ama $\mathbb{Z}_p$'lerin carpimi (eger bildigimiz koordinat koordinat carpmadan bahsediyorsan) bir cisim degildir. Bir tamlik bolgesi bile degildir: $(1,0)(0,1) = 0$. Yanlis anliyorum sanirim sordugun soruyu?

---

Vektör uzayı olarak kastediyorum. Nasıl görebiliriz bunu?

---

$F = p^n$ elemanli cisim olsun. $F$ icerisinde $x^p = x$ denklemini saglayan $p$ farkli eleman vardir. Bunlar bir cisim olusturur, bu cisim $\mathbb{Z}_p$'dir. Bu durumda $F$ uzerinde bu $\mathbb{Z}_p$'nin etkisini soldan carpma (ya da sagdan) olarak tanimlarsan, vektor uzayi yapisi elde etmis olursun. $F$'nin eleman sayisi $p^n$ oldugu icin, de $F \cong (\mathbb{Z}_p)^n$ olur cunku $n$ boyutlu butun $\mathbb{Z}_p$ vektor uzaylari $(\mathbb{Z}_p)'n$'ye izomorftur.

---

Ilk iddiayi kanitlamak icin de karakteristik $p$'de $(a+b)^p = a^p + b^p$ oldugunu bilmek yeterli. $0$ ve $1$'in denklemi sagladigi zaten acik. $2:= 1+1$'in sagladigini da yukaridaki esitlikle gosterebilirsin: $2^p = (1+1)^p = 1^p + 1^p = 1+1 = 2$. Ayni sekilde, $1$'in butun katlari bu denklemi saglar. Demek ki denklemin en az $p$ farkli koku var. Ama denklemin derecesi $p$. Demek ki butun kokler bunlar.