Fonksiyonun $x=0$'da türevi var mı ?

Question

$$f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{1-\cos x}{x} & , & x\neq 0 \\
0 & , & x=0\end{array}\right.$$

$x=0$'da türevi olabilmesi için sağ ve sol türevlerinin eşit olması gerekiyor ve o noktada sürekli olmalı.  $f^{'}\left( x\right) =\begin{cases}\dfrac{\sin x\cdot x-\left( 1-\cos x\right) }{x^{2}},:x\neq 0\\
0,x=0\end{cases}$

$f'\left( 0\right) =\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{x-0}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x\cdot x-\left( 1-\cos x\right) }{x^{3}}=\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x^2}+\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x-1}{x^{3}}=0+ \infty $ buluyorum. Nerede yanlışım var ?

Comments

$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x^2}\neq0$

---

haklısınız $\infty$ olmalı.

Answer 1

Doğruluğunu kontrol etmedim ama sıfır noktası dışında türevi klasik yöntemlerle hesaplarsın ve bu şekilde olur: $\dfrac{\sin x\cdot x-\left( 1-\cos x\right) }{x^{2}}$.

Sıfır noktasında türev alırken çevresindeki noktalar diğer tanımdan geliyor. Bir parçalı fonksiyon var ve buna tanımı uygularken parçalı fonksiyondan hangi değerler gelecek diye bakmalıyız.

Alman gereken limit bu: $f'\left( 0\right) =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{x-0}$.

Limit alırken limit noktasının bir civarında ilgilenme yaparsın. Bu nedenle orada $f(x)$ dediğimiz (sıfır dışında) $\dfrac{1-\cos x}{x}$ değerlerini alıyor. Sıfır için ise $f(0)=0$.

Bunları yerine yazarsak $$f'\left( 0\right) =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1-\cos x}{x}-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$$ olur.

Bu da standart bir limit ve değeri $1/2$.

Comments

$f(x)$ yerine $f'(x)$ yazınca  cevabı bulamamışım