Processing math: 40%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
515 kez görüntülendi
Bir ABC üçgeninde [BC] kenarını n3 eşit parçaya bölelim. Bu parçalar [BD1],[D1D2],,[Dn1C] olsun (D1[BD2], Dn1[Dn2C] ve i=2,3,,n2 için Di[Di1Di+1] olacak şekilde isimlendirilsin). |AB|=x0, |AC|=xn ve i=1,2,,n1 için |ADi|=xi olsun. Buna göre \sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\dbinom{n}{i}x_i^2=0 olduğunu gösteriniz.

n=3 için bu eşitliği uzun zaman önce, şu anda adını hatırlayamadığım bir instagram sayfasında görmüştüm (Tekrar denk gelirsem eklerim, reklam olmuyorsa tabii). Ben de teoremi genelleştirdim. n=2 için kenarortay teoreminden sağ taraf 0 olmuyor. Eğer bu teorem bilinen bir teorem ise söylerseniz sevinirim.
Lisans Matematik kategorisinde (127 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 515 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Eş parçaların uzunluğu d olsun. Kenarortay teoremi ile aşağıdaki denklemleri yazabiliriz.

\begin{aligned} x_0^2 - 2x_1^2 + x_2^2 &= (2d)^2/2 \\ x_1^2 - 2x_2^2 + x_3^2 &= (2d)^2/2 \\ \dots \\ x_{i-1}^2 - 2x_i^2 + x_{i+1}^2 &= (2d)^2/2 \end{aligned}

Şimdi başta kafa karıştırıcı görünebilen ama işimizi kolaylaştıracak bir yazım şekline geçeceğiz. Bir q değişkeni için kendisi ve k'ıncı kuvvetleri q^k = x^2_k büyüklüğünü simgelesin. Bu değişken ile biraz önceki ilişkilerin tümünü j \in \{0, \dots, n-2\} olmak üzere q^j (1-q)^2 = (2d)^2/2 denklemiyle özetleyebiliriz. Burada q'nun sayısal bir değeri olmadığını hatırlatalım, bütün denklem setini sağlayan bir q sayısı bulmak imkansızdır.

Sonra n=0 ve n=1 için olan denklemleri birbirinden çıkarırsak:

(1-q)(1-q)^2 = (1-q)^3 = \sum^3_{k=1} \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix} (-1)^k q^k= 0. Eşitliğin 3 eşit parça için yazılmış halini elde ederiz.

(1-q) ile çarpmaya devam ederek (1-q)^n = \sum^n_{k=1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k q^k = 0.
(145 puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,081,693 kullanıcı