Bir kenarı $n$ eşit parçaya bölünmüş üçgen

Question

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarını $n\geq 3$ eşit parçaya bölelim. Bu parçalar $[BD_1], [D_1D_2],\dots ,[D_{n-1}C]$ olsun ($D_1\in [BD_2]$, $D_{n-1}\in [D_{n-2}C]$ ve $i=2,3,\dots, n-2$ için $D_i\in [D_{i-1}D_{i+1}]$ olacak şekilde isimlendirilsin). $|AB|=x_0$, $|AC|=x_n$ ve $i=1,2,\dots ,n-1$ için $|AD_i|=x_i$ olsun. Buna göre $$\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\dbinom{n}{i}x_i^2=0$$ olduğunu gösteriniz.

$n=3$ için bu eşitliği uzun zaman önce, şu anda adını hatırlayamadığım bir instagram sayfasında görmüştüm (Tekrar denk gelirsem eklerim, reklam olmuyorsa tabii). Ben de teoremi genelleştirdim. $n=2$ için kenarortay teoreminden sağ taraf $0$ olmuyor. Eğer bu teorem bilinen bir teorem ise söylerseniz sevinirim.

Answer 1

Eş parçaların uzunluğu $d$ olsun. Kenarortay teoremi ile aşağıdaki denklemleri yazabiliriz.

\begin{aligned} x_0^2 - 2x_1^2 + x_2^2 &= (2d)^2/2 \\ x_1^2 - 2x_2^2 + x_3^2 &= (2d)^2/2 \\ \dots \\ x_{i-1}^2 - 2x_i^2 + x_{i+1}^2 &= (2d)^2/2 \end{aligned}

Şimdi başta kafa karıştırıcı görünebilen ama işimizi kolaylaştıracak bir yazım şekline geçeceğiz. Bir $q$ değişkeni için kendisi ve $k$'ıncı kuvvetleri $q^k = x^2_k$ büyüklüğünü simgelesin. Bu değişken ile biraz önceki ilişkilerin tümünü $j \in \{0, \dots, n-2\}$ olmak üzere $q^j (1-q)^2 = (2d)^2/2$ denklemiyle özetleyebiliriz. Burada $q$'nun sayısal bir değeri olmadığını hatırlatalım, bütün denklem setini sağlayan bir $q$ sayısı bulmak imkansızdır.

Sonra $n=0$ ve $n=1$ için olan denklemleri birbirinden çıkarırsak:

$(1-q)(1-q)^2 = (1-q)^3 = \sum^3_{k=1} \begin{pmatrix} 3 \\ k \end{pmatrix} (-1)^k q^k= 0$. Eşitliğin 3 eşit parça için yazılmış halini elde ederiz.

$(1-q)$ ile çarpmaya devam ederek $(1-q)^n = \sum^n_{k=1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k q^k = 0$.