Vektorlerin girdilerinin cogunlugunun $0$ oldugu bazi bulmak

Question

elimde $k$ tane $n$ boyutlu vektorler $v_i$ var. $say(v,B)$ fonksiyonu $v$ vektorun $B$ bazinda gosterimindeki sifira esit olan girdilerini sayiyor olsun. Oyle bir baz $B$ ariyorum ki, bu $k$ vektor icin $\sum_{i=1}^k say(v_i,B)$ maximal olsun. Nasil yaklasmaliyim bu soruya ?

Comments

Eğer elindeki vektörler lineer bağımsız ise cevap bariz, değilse de maksimal bir lineer bağımsız altkumesini almakla başlayabilirsin sanıyorum (yamuluyor olabilirim, oturup uğraşılırsa belki bu fikrin çalışmadığı ilginç bir örnek bulunabilir).

---

ya neden bariz cevap? ben anlamadim. Zaten $k>>n$ durumu icin elimde bir suru lineer bagimsiz vektorler olacak cok yuksek bir ihtimalle.

---

$k>n$ ise $k$ tane vektör lineer bağımsız olamaz.

---

$k>>n$ icin vektorlerin kumesinin $n$ elemanli alt kumelerinin cogu lineer bagimsiz olacak demek istemistim

---

Ben niyeyse $k \leq n$ koşulu koymuşum kendi kendime. Ama demek istediğim "lineer bağımsız bir altkumesini bul ve onu bir baza tamamla" idi

---

kombinatorik olarak patliyor problem. Cogu $n$ elemanli alt kume lineer bagimsiz olacak gibime geliyor

---

$l_1$ normunu minimize etmek ise yariyor gibi gozukuyor ama neden bilmiyorum

---

$l_1$ yerine $l_0$ normlarının toplamının minimum değerini bulmak daha doğru olabilir. Hakikatten 0 mı 1 mi o girdi diye bakıyor çünkü.

---

$l_0$ ile hangi $l_0$ i kastediyorsunuz ? zira $0^0=0^*$ kabul edip $l_p$ normlarinda verilen genel tanimla hareket edersek, $l_0$ bir norm degil. Turevlenebilir hic degil. Surekli mi ondan bile emin degilim

$^*$: Duzenleme oncesi $0^0=1$ kabul edersek yaziyordu. $1$ i $0$ ile degistirdim

Answer 1

$v_i$'leri bir matrisin sütunlarına dizip bu matrise $L$ diyelim. $B$'yi de, baz vektörlerinin sütunlarına dizilmiş bir matris gibi düşünelim. Amacımız $BX=L$ matris denklemini sağlayan bir tersinir matris $B$ ve girdileri çokça $0$'lardan oluşan boyutları $L$ ile aynı olan bir $X$ matrisi bulmak.

Belki teorik değil ama pratik bir çözüm şudur: $[I|L]$ augmented matrisiyle başlayın. Burada $I$ birim matristir. Gauss eliminasyonu satır işlemleri yaparak sağ tarafta elde edebildiğiniz kadar $0$ elde edin. Varacağınız nokta $[B^{-1}|X]$ olacak.

Comments

Soruyu baska bir forma cevirdiniz ama hala zor kismini cevaplamadiniz bence. Sorunun ruhu zaten girdileri cokca sifirlardan olusan matrisi nasil bulacagimiz. Kombinatorik olarak bakarsaniz problem patliyor. Zaten akademik matematik altinda sorma sebebim de bu idi. 

Aklimdaki sey  buydu aslinda