Question

$\sum _{n=1}^{\infty }\:1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)$ yakınsak mı ıraksak mı ?

$\sum _{n=1}^{\infty } -\cos(1/n)$ , n. terim testi yardımıyla ıraksaktır dedim. daha sonrası için

$ 1-\cos(1/n) \geq -\cos(1/n) $ sağ taraf ıraksak ise sol taraf kesinlikle ıraksak değil midir ?

Comments

"Sağ taraf" neden ıraksak?

---

$0>-1$,

$\sum_{n=1}^\infty(-1)$ ıraksak.

$\sum_{n=1}^\infty 0$ ıraksak mı?

---

hocam ben her zaman şu şekilde düşünüyordum.

kendisinden küçük bir şey ıraksaksa kendisi de ıraksaktır

---

Başka hangi yolla gösterebilirim?

---

limit karşılaştırma testi için, g(x)=1/x kullandım ama limitin sonucu 0 geliyor oradan da bir şey elde edemedim.

---

"kendisinden küçük bir şey ıraksaksa kendisi de ıraksaktır"

Buna benzer bir teoremi var ama eksik yazmışsın.

Answer 1

Kendi sitemde cevabını yazmıştım. Siteyi başka adrese taşıyacağımdan bağlantı paylaşmayım.

 

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da $\sin n$ ile $n$ arasında bir eşitsizlik mevcuttur. Bu eşitsizliği kullanabilmek için $\cos$ ile $\sin$ arasında bir köprü kurabiliriz. Bu işlemleri yaptığımızda toplamın terimini, toplamı yaksınsak olan, $1/n^2$ ifadesinden küçük kılmış oluruz.

Direkt karşılaştırma testine uygun aday bulma:
Her pozitif $x$ gerçel sayısı için $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ eşitliği ve $\sin x<x$ eşitsizliği sağlanır. Bu bilgiler ile $$0\le 1-\cos\left(\frac1n\right)=2\sin^2\left(\frac1{2n}\right) \le 2\left(\frac{1}{2n}\right)^2=\frac{1}{2n^2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1)$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsar. Sıfır olmayan sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n^2}$$ toplamı  da yakınsak olur.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitsizlik 1 sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( 1-\cos\left(\frac1n\right)\right)$$ toplamı yakınsak olur.

Answer 2

$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{1}{n^{2}}$ yakınsaktır. Limit testini uygularsak bu serinin de yakınsak olduğu görülür

Comments

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\left(1-\cos\left(\dfrac1n\right)\right)$  nedir?

---

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\left(1-\cos\left(\dfrac1n\right)\right)=1/2$

---

Eger limit 0 ise Limit Karsilastirma Testi ise yaramaz ama? Bu arada limit 1/2.

---

@Ökkeş, Limit sıfır ise LKT yakınsaklık için işe yarar.

---

Hayir yaramaz, tanim geregi

 $\sum a_n$ ve  $\sum b_n$ verilsin. $a_n\ge0$, $b_n>0$ $\forall n$

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ ve  $0<L<\infty$ ise karsilastirma yapilabilir yani  $\sum a_n$ ve  $\sum b_n$ ayni karakterdedir. $\sum b_n$ yakinsak ise $\sum a_n$ yakinsak, $\sum b_n$ iraksak ise $\sum a_n$ iraksak.. Karsit ornek bulmak cok kolay..

---

Bu aralık için yakınsak ise yakınsak, ıraksak ise ıraksak.

Limit sıfır çıkarsa bn yakınsak ise an yakınsak.
Limit sonsuz çıkarsa bn ıraksak ise an ıraksak.

Karşıt bir örnek alalım o zaman :)

---

Mevzu $0\le a_n \le c\cdot b_n$ ya da $a_n\ge c\cdot b_n$ bir eşitsizlik bulmak.

Limit sıfır ise ilkini, sonsuz ise ikincisini elde edebiliriz. $c=1$ seçimi ile hatta.

---

Su iki seriyi alalim

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$  ve $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$

 

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0=L$

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$ iraksaktir ama $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ yakinsaktir.

---

verdiğiniz örnekteki gözden kaçırılan şey şu, yakınsak dizi ile kıyaslamanız gerekiyor. Eğer bn yakınsak ve $\lim an/bn \to 0$ ise an yakınsak diyebiliriz.

---

Bu LKT nasil tanimladiginla alakali. Bir sart daha ekleyerek baska bir tanim yapilabilir. Standart tanim benim yazdigim gibidir. Bu arada $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup$ kullanmak gerekli..

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_comparison_test