Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
$\sum _{n=1}^{\infty }\:1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)$ yakınsak mı ıraksak mı ?

$\sum _{n=1}^{\infty } -\cos(1/n)$ , n. terim testi yardımıyla ıraksaktır dedim. daha sonrası için

$ 1-\cos(1/n) \geq -\cos(1/n) $ sağ taraf ıraksak ise sol taraf kesinlikle ıraksak değil midir ?
Lisans Matematik kategorisinde (303 puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi
"Sağ taraf" neden ıraksak?
$0>-1$,

$\sum_{n=1}^\infty(-1)$ ıraksak.

$\sum_{n=1}^\infty 0$ ıraksak mı?
hocam ben her zaman şu şekilde düşünüyordum.

kendisinden küçük bir şey ıraksaksa kendisi de ıraksaktır
Başka hangi yolla gösterebilirim?
limit karşılaştırma testi için, g(x)=1/x kullandım ama limitin sonucu 0 geliyor oradan da bir şey elde edemedim.

"kendisinden küçük bir şey ıraksaksa kendisi de ıraksaktır"

Buna benzer bir teoremi var ama eksik yazmışsın.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Kendi sitemde cevabını yazmıştım. Siteyi başka adrese taşıyacağımdan bağlantı paylaşmayım.

 

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da $\sin n$ ile $n$ arasında bir eşitsizlik mevcuttur. Bu eşitsizliği kullanabilmek için $\cos$ ile $\sin$ arasında bir köprü kurabiliriz. Bu işlemleri yaptığımızda toplamın terimini, toplamı yaksınsak olan, $1/n^2$ ifadesinden küçük kılmış oluruz.

Direkt karşılaştırma testine uygun aday bulma:
Her pozitif $x$ gerçel sayısı için $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ eşitliği ve $\sin x<x$ eşitsizliği sağlanır. Bu bilgiler ile $$0\le 1-\cos\left(\frac1n\right)=2\sin^2\left(\frac1{2n}\right) \le 2\left(\frac{1}{2n}\right)^2=\frac{1}{2n^2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1)$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsar. Sıfır olmayan sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n^2}$$ toplamı  da yakınsak olur.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitsizlik 1 sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( 1-\cos\left(\frac1n\right)\right)$$ toplamı yakınsak olur.

(25.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
2 beğenilme 0 beğenilmeme
$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{1}{n^{2}}$ yakınsaktır. Limit testini uygularsak bu serinin de yakınsak olduğu görülür
(234 puan) tarafından 
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\left(1-\cos\left(\dfrac1n\right)\right)$  nedir?
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\left(1-\cos\left(\dfrac1n\right)\right)=1/2$
Eger limit 0 ise Limit Karsilastirma Testi ise yaramaz ama? Bu arada limit 1/2.
@Ökkeş, Limit sıfır ise LKT yakınsaklık için işe yarar.
Hayir yaramaz, tanim geregi

 $\sum a_n$ ve  $\sum b_n$ verilsin. $a_n\ge0$, $b_n>0$ $\forall n$

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ ve  $0<L<\infty$ ise karsilastirma yapilabilir yani  $\sum a_n$ ve  $\sum b_n$ ayni karakterdedir. $\sum b_n$ yakinsak ise $\sum a_n$ yakinsak, $\sum b_n$ iraksak ise $\sum a_n$ iraksak.. Karsit ornek bulmak cok kolay..
Bu aralık için yakınsak ise yakınsak, ıraksak ise ıraksak.

Limit sıfır çıkarsa bn yakınsak ise an yakınsak.
Limit sonsuz çıkarsa bn ıraksak ise an ıraksak.

Karşıt bir örnek alalım o zaman :)
Mevzu $0\le a_n \le c\cdot b_n$ ya da $a_n\ge c\cdot b_n$ bir eşitsizlik bulmak.

Limit sıfır ise ilkini, sonsuz ise ikincisini elde edebiliriz. $c=1$ seçimi ile hatta.
Su iki seriyi alalim

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$  ve $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$

 

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0=L$

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$ iraksaktir ama $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ yakinsaktir.
verdiğiniz örnekteki gözden kaçırılan şey şu, yakınsak dizi ile kıyaslamanız gerekiyor. Eğer bn yakınsak ve $\lim an/bn \to 0$ ise an yakınsak diyebiliriz.
Bu LKT nasil tanimladiginla alakali. Bir sart daha ekleyerek baska bir tanim yapilabilir. Standart tanim benim yazdigim gibidir. Bu arada $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup$ kullanmak gerekli..

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_comparison_test
20,217 soru
21,750 cevap
73,349 yorum
1,976,652 kullanıcı