$(X,\tau_1)\cong (Z,\tau_3)\Rightarrow (\exists f\in Z^X)(f, \ (\tau_1\text{-} \tau_3) \text { homeomorfizma})$
$(Y,\tau_2)\cong (W,\tau_4)\Rightarrow (\exists g\in W^Y)(g, \ (\tau_2\text{-} \tau_4) \text { homeomorfizma})$
$$h(x,y):=(f(x),g(y))$$ kuralı ile verilen $$h\in (Z\times W) ^\left (X\times Y \right)$$ fonksiyon olmak üzere;
$\left.\begin{array}{r} (x,y) ,(z,t)\in(X\times Y) \\ \\ h((x,y))=h((z,t)) \end{array}\right\} \Rightarrow(f(x),g(y))=(f(z),g(t)) \Rightarrow f(x)=f(z)$ ve $g(y)=g(t)$
$\left.\begin{array}{r} f(x)=f(z) \\ \\ f, (1-1) \end{array}\right\} \Rightarrow x=z\ldots (1)$
$\left.\begin{array}{r} g(y)=g(t) \\ \\ g, (1-1) \end{array}\right\} \Rightarrow y=t\ldots (2)$
(1) ve (2)' den $\left[ \forall (x,y) ,(z,t)\in(X\times Y) \right ] \ \ $$\mathcal{h}((x,y))=\mathcal{h} ((z,t)) \Rightarrow (x,y)=(z,t)$ yani $\mathcal{h}$ ,fonksiyonu birebir
$\mathcal{h}[X\times Y]=\{h(x,y) \big|(x,y)\in(X\times Y)\} = \{(f(x),g(y))\big|x\in X , y\in Y \} = Z\times W$ dolayısıyla $\mathcal{h}$ , fonksiyonu örten
$\mathcal{B_Ç}:=\{\mathcal{U\times V} \big|\mathcal{U}\in\tau_3 \ \land \ \mathcal{V}\in\tau_4\}$ ailesi $\tau_3*\tau_4$ için bazdır.Keyfi $\mathcal{U}\times \mathcal{V\in\mathcal{B_Ç}}$ için ;
$\mathcal{h}^{-1}[\mathcal{U}\times \mathcal{V}]=\{{(x,y) \big|\mathcal{h((x,y))}\in\mathcal{U}\times \mathcal{V}\} }=\{{(x,y) \big|(f(x),g(y))\in\mathcal{U}\times \mathcal{V}\} } $
=
$\{{(x,y) \big|f(x)\in\mathcal{U} \ \ \land g(y)\in\mathcal{V}\} } \\ $
=
$\{{(x,y) \big|x\in f^{-1}(\mathcal{U}) \ \ \land \ y\in g^{-1}(\mathcal{V})\} } =f^{-1}(\mathcal{U})\times g^{-1}(\mathcal{V})$
$f,homeomorfizma \Rightarrow \begin{array}{cc} \\ \\ \left.\begin{array}{rr} f ,sürekli \\ \\ \mathcal{U\in\tau_3} \end{array}\right\} \Rightarrow f^{-1}(\mathcal{U})\in\tau_1 . \end{array}$
$g,homeomorfizma \Rightarrow \begin{array}{cc} \\ \\ \left.\begin{array}{rr} g ,sürekli \\ \\ \mathcal{V\in\tau_4} \end{array}\right\} \Rightarrow g^{-1}(\mathcal{V})\in\tau_2 . \end{array}$
$ f^{-1}(\mathcal{U})\in\tau_1\land g^{-1}(\mathcal{V})\in\tau_2\Longrightarrow f^{-1}(\mathcal{U})\times g^{-1}(\mathcal{V})\in\tau_1*\tau_2$ dolayısıyla $\mathcal{h}$ süreklidir yine benzer şekilde $\mathcal{h}$ ' nin bir açık fonksiyon olduğu kolayca görülebilir $\mathcal{h}$ birebir,örten,sürekli ve açık bir fonksiyon olduğundan bir homeomorfizmadır bu takdirde ; $(X\times Y,\tau_1\star\tau_2) \cong (Z\times W,\tau_3\star\tau_4)$