Homeomorfizmaya Dair-XI

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2),(Z,\tau_3),(W,\tau_4)$ topolojik uzaylar olsun.

$((X,\tau_1)\cong (Z,\tau_3))((Y,\tau_2)\cong (W,\tau_4))\Rightarrow (X\times Y,\tau_1\star\tau_2) \cong (Z\times W,\tau_3\star\tau_4)$

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(X,\tau_1)\cong (Z,\tau_3)\Rightarrow (\exists f\in Z^X)(f,  \ (\tau_1\text{-} \tau_3)  \text { homeomorfizma})$

$(Y,\tau_2)\cong (W,\tau_4)\Rightarrow (\exists g\in W^Y)(g,  \ (\tau_2\text{-} \tau_4)  \text { homeomorfizma})$

$$h(x,y):=(f(x),g(y))$$ kuralı ile verilen $$h\in (Z\times W)  ^\left (X\times Y \right)$$ fonksiyon olmak üzere;

$\left.\begin{array}{r}  (x,y) ,(z,t)\in(X\times Y)   \\ \\   h((x,y))=h((z,t))  \end{array}\right\} \Rightarrow(f(x),g(y))=(f(z),g(t)) \Rightarrow f(x)=f(z)$ ve $g(y)=g(t)$

                   $\left.\begin{array}{r}  f(x)=f(z)  \\  \\ f, (1-1) \end{array}\right\} \Rightarrow x=z\ldots (1)$

                    $\left.\begin{array}{r} g(y)=g(t) \\  \\ g, (1-1) \end{array}\right\} \Rightarrow y=t\ldots (2)$

 

(1) ve (2)' den    $\left[ \forall (x,y) ,(z,t)\in(X\times Y) \right ]  \ \ $$\mathcal{h}((x,y))=\mathcal{h} ((z,t)) \Rightarrow (x,y)=(z,t)$ yani $\mathcal{h}$ ,fonksiyonu birebir

 

$\mathcal{h}[X\times Y]=\{h(x,y) \big|(x,y)\in(X\times Y)\} = \{(f(x),g(y))\big|x\in X , y\in Y \} = Z\times W$ dolayısıyla $\mathcal{h}$ , fonksiyonu örten

$\mathcal{B_Ç}:=\{\mathcal{U\times V} \big|\mathcal{U}\in\tau_3 \ \land \ \mathcal{V}\in\tau_4\}$  ailesi $\tau_3*\tau_4$ için bazdır.Keyfi  $\mathcal{U}\times \mathcal{V\in\mathcal{B_Ç}}$  için ;

 

$\mathcal{h}^{-1}[\mathcal{U}\times \mathcal{V}]=\{{(x,y) \big|\mathcal{h((x,y))}\in\mathcal{U}\times \mathcal{V}\} }=\{{(x,y) \big|(f(x),g(y))\in\mathcal{U}\times \mathcal{V}\} }$

=

$\{{(x,y) \big|f(x)\in\mathcal{U} \ \  \land g(y)\in\mathcal{V}\} } \\ $

=

$\{{(x,y) \big|x\in f^{-1}(\mathcal{U}) \ \  \land \  y\in g^{-1}(\mathcal{V})\} } =f^{-1}(\mathcal{U})\times g^{-1}(\mathcal{V})$

$f,homeomorfizma \Rightarrow \begin{array}{cc} \\ \\ \left.\begin{array}{rr}  f  ,sürekli \\ \\ \mathcal{U\in\tau_3} \end{array}\right\} \Rightarrow f^{-1}(\mathcal{U})\in\tau_1 . \end{array}$

 

$g,homeomorfizma \Rightarrow \begin{array}{cc} \\ \\ \left.\begin{array}{rr}  g  ,sürekli \\ \\ \mathcal{V\in\tau_4} \end{array}\right\} \Rightarrow g^{-1}(\mathcal{V})\in\tau_2 . \end{array}$

 

$f^{-1}(\mathcal{U})\in\tau_1\land  g^{-1}(\mathcal{V})\in\tau_2\Longrightarrow f^{-1}(\mathcal{U})\times g^{-1}(\mathcal{V})\in\tau_1*\tau_2$ dolayısıyla   $\mathcal{h}$ süreklidir  yine benzer şekilde  $\mathcal{h}$ ' nin bir açık fonksiyon olduğu kolayca görülebilir  $\mathcal{h}$   birebir,örten,sürekli ve açık bir fonksiyon olduğundan bir homeomorfizmadır bu takdirde ;     $(X\times Y,\tau_1\star\tau_2) \cong (Z\times W,\tau_3\star\tau_4)$