Question

$2013^{2013}$'un son $3$ basamagi nedir?

Comments

 son 3 basamak=25333  basamak= 253

---

Çözümünü de paylaşırsan iyi olur.

---

Bu cozum site icin cok suitable degil.

Answer 1

$2013$ ve $1000$ aralarinda asal oldugundan Euler teoremi kullanirsak $1000=2^3.5^3$ oldugundan $2013^{(2^3-2^2)(5^3-5^2)} \equiv 1 (mod 1000)$ olur. O halde $2013^{2013}$ ifadesini $2013^{13}$ oradan da $13^{13}$'e indirgeyebiliriz. Fakat sonrasinda is biraz amele yontemine donuyor oradan sonra $13^{13} \equiv 253 (mod 1000)$ bulunur.

Answer 2

Sondaki üç rakam mod 1000 ile bulunur.

2013 üzeri 1  (mod 1000) =13

i=1,2,3,...,100 için

***

Bu soruda

2013 üzeri i nin (mod 1000) için  hesaplanması,

13 üzeri  i ( mod 1000)  nin hesaplanması demektir.

***

13 üzeri 100  (mod 1000) = 1 olduğundan

2000 / 100=20, 1'in 2000. kuvveti 1 dir.

2013-2000=13

13 üzeri 13 ( mod 1000)=253

2013 üzeri 2013 (mod 1000)= 1 x 253=253

Cevap 253

Comments

$13^{100}$'un $1$ oldugunu nasil bulduk?

---

Eğer sınavda değilsek

EXCEL 'de 13'ün kuvvetleri (mod1000) için,

( kalan olarak 1 sayısını  bulana kadar ) 

1'den x'e kadar hesaplanır.

Soruyu çözecek kişi eğer programlama biliyorsa 

 programında bir döngü içinde mod veya   %  kullanabilir. 

Eğer 1 bulunamıyorsa  kalanlar gözden geçirilip tekrarlanan kalanlar var mı diye bakılır.

M.E.B. Matematik ders kitaplarındaki çözümler bu şekilde yapılmaktadır.

Bu sorru, sınavda çoktan seçmeli bir test sorusuysa seçenekleri eleme yöntemi kullanılabilir.

Çözümü anlayanlar bu soruyu çözmeye çalışabilir:

(13 üzeri 258 )+(13 üzeri 132)+13 üzeri 80)+(13 üzeri 276)+(13 üzeri 376)  toplamının 1000'e bölümünden kalan kaçtır?

---

Madem program kullanacaz, neden direk

>2013^2013 mod 1000;
>253
>
olarak yazip cevabi bulmuyoruz? (Magma kodu) Neden $\equiv 1$ yapan degeri bulup vakit kaybediyoruz?

Bu soruda aslinda $\equiv 13^{13} \mod 1000$ oldugunu gostermek icin cok temel matematiksel araclar var. Tabi ki programlarin da kullanilmasi gereken yerler ve matematiksel sorular da var, fakat bu onlardan biri degil, olmamali.

---

Programa gerek yok. $2013$ ve $1000$ aralarinda asal oldugundan Euler teoremi kullanirsak $1000=2^3.5^3$ oldugundan $2013^{(2^3-2^2)(5^3-5^2)} \equiv 1 (mod 1000)$ olur. O halde $2013^{2013}$ ifadesini $2013^{13}$ oradan da $13^{13}$'e indirgeyebiliriz. Fakat oradan sonra tabiri yerindeyse amele yontemi kullanmamiz gerekiyor sanirim :)

---

Bunu cevap olarak da paylasabilirsin.