Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.1k kez görüntülendi

$2013^{2013}$'un son $3$ basamagi nedir?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (25.4k puan) tarafından  | 3.1k kez görüntülendi

 son 3 basamak=25333  basamak= 253

Çözümünü de paylaşırsan iyi olur.

Bu cozum site icin cok suitable degil.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$2013$ ve $1000$ aralarinda asal oldugundan Euler teoremi kullanirsak $1000=2^3.5^3$ oldugundan $2013^{(2^3-2^2)(5^3-5^2)} \equiv 1 (mod 1000)$ olur. O halde $2013^{2013}$ ifadesini $2013^{13}$ oradan da $13^{13}$'e indirgeyebiliriz. Fakat sonrasinda is biraz amele yontemine donuyor oradan sonra $13^{13} \equiv 253 (mod 1000)$ bulunur.

(2.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Sondaki üç rakam mod 1000 ile bulunur.

2013 üzeri 1  (mod 1000) =13

i=1,2,3,...,100 için

***

Bu soruda

2013 üzeri i nin (mod 1000) için  hesaplanması,

13 üzeri  i ( mod 1000)  nin hesaplanması demektir.

***

13 üzeri 100  (mod 1000) = 1 olduğundan

2000 / 100=20, 1'in 2000. kuvveti 1 dir.

2013-2000=13

13 üzeri 13 ( mod 1000)=253

2013 üzeri 2013 (mod 1000)= 1 x 253=253

Cevap 253


(3.9k puan) tarafından 

$13^{100}$'un $1$ oldugunu nasil bulduk?

Eğer sınavda değilsek

EXCEL 'de 13'ün kuvvetleri (mod1000) için,
( kalan olarak 1 sayısını  bulana kadar ) 
1'den x'e kadar hesaplanır.

Soruyu çözecek kişi eğer programlama biliyorsa 
 programında bir döngü içinde mod veya   %  kullanabilir. 

Eğer 1 bulunamıyorsa  kalanlar gözden geçirilip tekrarlanan kalanlar var mı diye bakılır.

M.E.B. Matematik ders kitaplarındaki çözümler bu şekilde yapılmaktadır.

Bu sorru, sınavda çoktan seçmeli bir test sorusuysa seçenekleri eleme yöntemi kullanılabilir.

Çözümü anlayanlar bu soruyu çözmeye çalışabilir:

(13 üzeri 258 )+(13 üzeri 132)+13 üzeri 80)+(13 üzeri 276)+(13 üzeri 376)  toplamının 1000'e bölümünden kalan kaçtır?



Madem program kullanacaz, neden direk

>2013^2013 mod 1000;
>253
>
olarak yazip cevabi bulmuyoruz? (Magma kodu) Neden $\equiv 1$ yapan degeri bulup vakit kaybediyoruz?

Bu soruda aslinda $\equiv 13^{13} \mod 1000$ oldugunu gostermek icin cok temel matematiksel araclar var. Tabi ki programlarin da kullanilmasi gereken yerler ve matematiksel sorular da var, fakat bu onlardan biri degil, olmamali.

Programa gerek yok. $2013$ ve $1000$ aralarinda asal oldugundan Euler teoremi kullanirsak $1000=2^3.5^3$ oldugundan $2013^{(2^3-2^2)(5^3-5^2)} \equiv 1 (mod 1000)$ olur. O halde $2013^{2013}$ ifadesini $2013^{13}$ oradan da $13^{13}$'e indirgeyebiliriz. Fakat oradan sonra tabiri yerindeyse amele yontemi kullanmamiz gerekiyor sanirim :)

Bunu cevap olarak da paylasabilirsin.

20,248 soru
21,774 cevap
73,422 yorum
2,152,231 kullanıcı