Aslında paydada n-inci dereceden polinom varsa pay kısmına n−1-inci dereceden polinom yazılmayabilir. Örneğin:
1(x−1)(x3+8)
ifadesi için
Ax−1+Bx2+Cx+Dx3+8
yazmıyoruz ve bunun yerine
Ax−1+Bx+2+Cx+Dx2+2x+4
yazmayı tercih ediyoruz. Sebebi ise, bir integral alma problemi ile ilgileniyorsak Ax−1 ifadesinin integralini kolayca alabiliyoruz ve iyi bilindiği üzere A⋅ln|x−1|+c1 biçiminde buluyoruz.
Ayrıca Cx+Dx2+2x+4 formatındaki bir fonksiyonun integralini de ln ve arctan fonksiyonları türünden elde edebiliyoruz.
Şimdi ilginç birşey söyleyeceğim: Aslında basit kesirlere ayırma dediğimiz işlemi yukarıdaki gibi de yapmak zorunda değiliz. Hatta yukarıdaki gibi yapmak uğraştığımız soru türüne göre iyi bir yöntem bile olmayabilir! Örnek bir problem:
99∑n=11n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
toplamını hesaplayınız.
Çözüm: Toplam sembolü içinde verilen ifadeyi An+Bn+1+Cn+2+Dn+3+En+4 biçiminde yazmak akla gelebilir. Fakat bu aşamadan sonra çözümün nasıl ilerleyeceği şüphelidir. İntegralde kullandığımız ve çok iyi iş gören yöntem burada pek etkili değildir.
Etkili yol şudur:
1n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=An(n+1)(n+2)(n+3)+B(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) biçiminde yazarsak A=14, B=−14 olur. Böylece teleskopik bir toplam elde etmiş oluruz ve
14[99∑n=11n(n+1)(n+2)(n+3)−1(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]=14[11⋅2⋅3⋅4−1100⋅101⋅102⋅103]
olarak hesaplanır.
O halde 'Basit kesirlere ayırma işlemini neden şu şekilde yapıyoruz?' sorusunun yanıtı, hayatın birçok alanında verdiğimiz tanıdık bir yanıttır: 'Çünkü işimize öyle geliyor :)'