Aslında paydada $n$-inci dereceden polinom varsa pay kısmına $n-1$-inci dereceden polinom yazılmayabilir. Örneğin:
$$\dfrac{1}{(x-1)(x^3 + 8)}$$ ifadesi için $$ \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx^2 + Cx + D}{x^3 + 8}$$ yazmıyoruz ve bunun yerine
$$ \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} + \dfrac{Cx+D}{x^2 + 2x + 4} $$
yazmayı tercih ediyoruz. Sebebi ise, bir integral alma problemi ile ilgileniyorsak $\dfrac{A}{x-1} $ ifadesinin integralini kolayca alabiliyoruz ve iyi bilindiği üzere $ A\cdot \ln |x-1| +c_1$ biçiminde buluyoruz.
Ayrıca $\dfrac{Cx+D}{x^2 + 2x + 4} $ formatındaki bir fonksiyonun integralini de $\ln$ ve $\arctan $ fonksiyonları türünden elde edebiliyoruz.
Şimdi ilginç birşey söyleyeceğim: Aslında basit kesirlere ayırma dediğimiz işlemi yukarıdaki gibi de yapmak zorunda değiliz. Hatta yukarıdaki gibi yapmak uğraştığımız soru türüne göre iyi bir yöntem bile olmayabilir! Örnek bir problem:
$$ \sum_{n=1}^{99} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$$ toplamını hesaplayınız.
Çözüm: Toplam sembolü içinde verilen ifadeyi $\dfrac{A}{n} +\dfrac{B}{n+1} + \dfrac{C}{n+2} + \dfrac{D}{n+3} + \dfrac{E}{n+4}$ biçiminde yazmak akla gelebilir. Fakat bu aşamadan sonra çözümün nasıl ilerleyeceği şüphelidir. İntegralde kullandığımız ve çok iyi iş gören yöntem burada pek etkili değildir.
Etkili yol şudur:
$ \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} = \dfrac{A}{n(n+1)(n+2)(n+3)} + \dfrac{B}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ biçiminde yazarsak $A=\dfrac{1}{4}$, $B=- \dfrac{1}{4}$ olur. Böylece teleskopik bir toplam elde etmiş oluruz ve
$$ \dfrac{1}{4} \left[ \sum_{n=1}^{99} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\right] \\ = \dfrac{1}{4}\left[ \dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} - \dfrac{1}{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 103}\right]$$
olarak hesaplanır.
O halde 'Basit kesirlere ayırma işlemini neden şu şekilde yapıyoruz?' sorusunun yanıtı, hayatın birçok alanında verdiğimiz tanıdık bir yanıttır: 'Çünkü işimize öyle geliyor :)'