Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
842 kez görüntülendi
Sorumu örnek üzerinden açıklamaya çalışayım.

$\dfrac{1}{\left( x+2\right) \left( x-1\right) }=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-1}$

Elimizde 1.dereceden polinomlar varken ve bunları ayrıştırırken burada yazdığımız A ve B sabit olarak yazıyoruz.

Eğer elimizde $\dfrac{1}{\left( x^{2}+9\right) \left( x-1\right) }=\dfrac{Ax+B}{x^{2}+9}+\dfrac{C}{x-1}$ buna benzer çarpanlarına ayrılamayan ikinci dereceden bir ifade varsa PAY kısmına 1.dereceden bir polinom yazıyoruz.

Eğer paydada n. dereceden polinom varsa üstüne (n-1). dereceden yazmamızın sebebi nedir ?
Lisans Matematik kategorisinde (234 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 842 kez görüntülendi
cok emin olamadim ama paydalari esitledigimizde n in dereceden terimler birbirini gotursun ve geriye sabit kalsin diye olabilir mi ?
polinom bölmesi yaparsın, elinde bir polinom bir de paydanın dereces küçük olan bir polinom kesiri kalır.
biraz daha yazdığınızı açabilir misiniz
Bir polinoma ikinci dereceden polinoma bölersen kalan ne olabilir?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Aslında paydada $n$-inci dereceden polinom varsa pay kısmına $n-1$-inci dereceden polinom yazılmayabilir. Örneğin:

$$\dfrac{1}{(x-1)(x^3 + 8)}$$ ifadesi için $$ \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx^2 + Cx + D}{x^3 + 8}$$ yazmıyoruz ve bunun yerine

$$ \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} + \dfrac{Cx+D}{x^2 + 2x + 4} $$

yazmayı tercih ediyoruz. Sebebi ise, bir integral alma problemi ile ilgileniyorsak $\dfrac{A}{x-1} $ ifadesinin integralini kolayca alabiliyoruz ve iyi bilindiği üzere $ A\cdot \ln |x-1| +c_1$ biçiminde buluyoruz.

 

Ayrıca $\dfrac{Cx+D}{x^2 + 2x + 4} $ formatındaki bir fonksiyonun integralini de $\ln$ ve $\arctan $ fonksiyonları türünden elde edebiliyoruz.

 

Şimdi ilginç birşey söyleyeceğim: Aslında basit kesirlere ayırma dediğimiz işlemi yukarıdaki gibi de yapmak zorunda değiliz. Hatta yukarıdaki gibi yapmak uğraştığımız soru türüne göre iyi bir yöntem bile olmayabilir! Örnek bir problem:

 

$$ \sum_{n=1}^{99}  \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$$ toplamını hesaplayınız.

 

Çözüm: Toplam sembolü içinde verilen ifadeyi $\dfrac{A}{n} +\dfrac{B}{n+1} + \dfrac{C}{n+2} + \dfrac{D}{n+3} + \dfrac{E}{n+4}$ biçiminde yazmak akla gelebilir. Fakat bu aşamadan sonra çözümün nasıl ilerleyeceği şüphelidir. İntegralde kullandığımız ve çok iyi iş gören yöntem burada pek etkili değildir.

 

Etkili yol şudur:

$ \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} = \dfrac{A}{n(n+1)(n+2)(n+3)} + \dfrac{B}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ biçiminde yazarsak $A=\dfrac{1}{4}$, $B=- \dfrac{1}{4}$ olur. Böylece teleskopik bir toplam elde etmiş oluruz ve

 

$$ \dfrac{1}{4} \left[ \sum_{n=1}^{99}  \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\right] \\ = \dfrac{1}{4}\left[ \dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} - \dfrac{1}{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 103}\right]$$

olarak hesaplanır.

 

O halde 'Basit kesirlere ayırma işlemini neden şu şekilde yapıyoruz?' sorusunun yanıtı, hayatın birçok alanında verdiğimiz tanıdık bir yanıttır: 'Çünkü işimize öyle geliyor :)

 

 

(2.6k puan) tarafından 
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,056,033 kullanıcı