a sayısının işaretine karar verebilmek, negatif mi yoksa pozitif mi?

Question

f(x)=ln(2x-a) ve g(x)=log(ax-$b^2$) fonksiyonlarının sürekli olduğu en geniş küme eş olduğuna göre a/b'nin pozitif değeri nedir?

 Buradan logaritmanın tanımını kullanarak 2x-a>0 ve ax-$b^2$>0 eşitsizliklerine ulaşabiliyoruz. İlk eşitsizlik sonucunda 2x>a , x>a/2 diyebiliyoruz. İkinci eşitsizlikte ise ax>$b^2$'ye kadar gelebiliyoruz. Bundan sonra her tarafı a'ya bölüp x'in aralığını bulabilmek istiyorum ancak a'nın pozitif mi negatif mi olduğunu bilmiyoruz. Dolayısıyla bu işlemi sonucundan emin olarak yapamayız. Ben bir parçalı fonksiyon oluşturdum ve a'nın sıfırdan büyük ya da küçük oluşuna göre ayrı ayrı çözmeyi denedim ancak a'yı negatif almış olmam x'in pozitif ya da negatif olduğunu kanıtlamadığından logaritmayı tanımsız hale getirir mi getirmez mi bilemeyiz diye bir sonuca vardım. x<$b^2$/a için a negatif alındığında $b^2$ pozitif olduğundan x<(+)/(-) x<(-) olur peki, 2x-a>0 için işaretleri yerine yazarsak (-)-(-)>0 olduğunu gösterir mi? a'yı pozitif kabul edersek soru kolayca çözülüyor. Ben sizden a'yı neden negatif alamayacağımızı anlatmanızı rica ediyorum. Saygılarımla. (Yorgun olduğum için saçmalamış olabilirim, onun için ayrıca özür dilerim.)

Comments

Bende bir öğrenciyim de hocam mesela mutlak değer olarak alsan 2 farklı çözüm olarak denesen bir sonuç gidilir mi acaba.

---

"fonksiyonlarının sürekli olduğu en geniş küme eş olduğuna göre"

Bu fonksiyonlar tanımlı olduğu her yerde (ve sadece orada) sürekli olduğu için tanım kümelerinin eşit (soruda eş denmiş ama eşit olması anlamlı) olacak şekilde $a,b$ için $\frac ab$ isteniyor. 

Tanım kümelerinin aynı olması için, ikisinin de içi, aynı $x$ için, 0 olması gerekir.

$\frac ab$ nin pozitif değeri de pek iyi bir ifade değil. "$\frac ab$ nin alabileceği değerlerden pozitif olanı" iyi olur. Örneğin: "$-1$ in pozitif değeri" biraz saçma olmaz mı? Ya da, $\frac ab$ nin mutlak değeri ($\left|\frac ab\right|$) de denebilir.

 

---

Hocam, x=a/2 ve x=$b^2$/a denklemin kökleri lakin kökler her zaman tanımlılığı sağlamak zorunda değil ki. Bu yüzden eşitsizlikle çözmek daha doğru olur gibime geldi. Atıyorum bir m sayısı olsun. m>0 olmak üzere x=a/2=$b^2$/a=m olsun. Böyle olursa tanımlı ancak x sıfırdan farklı oluyor. İşler dışlar çarpımını yapıp a'yı ve b'yi k cinsinden bulup oranlayıp sonuca ulaşmak mümkün. Evet, kök demek fonksiyonu ister tanımlı ister tanımsız yapsın sıfır yapan x değeridir. Peki; çözüm kümesini aralık olarak bulacaksak eşitsizlik, eleman olarak bulacaksak denklem ile mi çözmek gerekir? Aklımdaki soruları yanıtlarsanız minnettar olurum. Ayrıca soru üzerindeki ifade bozukluklarını düzelttiğiniz için teşekkür ederim.