Fonksiyon sorusu.

Question

f=A>B A Dan B ye tanımlı bir fonksiyon olsun

A:{a,b,c}

B:{1,2} olsun  A dan B ye tanımlı kaç farklı fonksiyon yazılabilir diye bir soru var

Formülü şöyle $s(B)^{s(A)}$

Burdada formülle şöyle oluyor $2^3$ tane fonksiyon yazılabilir çıkıyor

fakat ben tek tek yazıp bakmak istedim şöyle yaptım

$f:{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} şimdi burda 6 tane durum oluyor yukarıda 8 burdaki mantık nedir.

Comments

@captan,

Senin yazdığın küme, $A$ dan $B$ ye bir fonksiyon değil.

Sen $A\times B$ kümesini yazmışsın.

---

@DoganDonmez hocam

Hocam videoda hoca şöyle gösterdi

Tanım kumesi {a,b,c}

Değer kümesi {1,2} yazdı dediki bunu şöyle düşünün dedi

Mesela $a$ için kaç farklı durum olur fonksiyon belirtmesi için dedi

Fonksiyonun genel kuralı tanım kumesi değer kümesinin bir ve yalnız bir elmanina gidebilir

Ama burda bana kaç farklı şekilde fonksiyon belirtir diye düşündüm hocam

Şimdi $a$ icin değer kümesinden 1 ve 2 ye gidebilir 2 sine aynı anda gitmez tabikide

A için 2 durum oldu 1 ve 2

B içinde 1 ve 2

C içinde 1 ve 2 toplam 6 durum oldu

Formülle 8 durum oluyor fakat böyle dusununce 6 durum oluyor hocam.

---

O 2 ler toplanmayacak, çarpılacak.

---

Hocam onuda düşündüm ayriyeten çarpım yoluyla ve toplama yoluyla sayma videoları izledim ama burdaki durumu ona benzetemedim hocam

Neden çarpıyoruz ?

Bide neden ben 6 durum çıkarırken 2 durumu neden cikaramiyorum hocam valla aklım karıştı

---

Yani bide o 2 durum nasıl oluyor hocam küme şeklinde çizdim ama başka durum çıkaramadım.

---

Sen 6 durum yazmadın captan.

Sen hiç bir fonksiyon yazmadın, yazdığın küme $A$ dan $B$ ye bir fonksiyon değil.

Sen $A\times B$ kümesinin elemanlarını yazdın.

$A$ dan $B$ ye bir fonksiyon, $A\times B$ nin iki koşulu sağlayan alt kümeleridir.

Senin yazdığın küme bu koşullardan birini sağlamıyor.

 

 

---

Sen 6 durum yazmadın captan.

Sen hiç bir fonksiyon yazmadın, yazdığın küme $A$ dan $B$ ye bir fonksiyon değil.

Sen $A\times B$ kümesinin elemanlarını yazdın.

$A$ dan $B$ ye bir fonksiyon, $A\times B$ nin iki koşulu sağlayan alt kümeleridir.

Senin yazdığın küme bu koşullardan birini sağlamıyor.

 

---

Doğru haklısınız hocam ben kartezyan çarpımı yazmışım direk

Fonksiyonu öyle yazmam yanlış anlaşılmış haklısınız hocam

Peki bana bunun mantığını gösterir misiniz hocam

---

@DoganDonmez hocam

Şimdi 8 durum oluyorya A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı

Neden çarpıyoruz

Bide tek tek 8 durumu gösterme şansınız varmı hocam.

---

Bir zar atıldığında 6 durum vardır.

Bir para atıldığında 2 durum (Y/T) vardır.

(Birbirinden bağımsız olaylar deniyor)

Bir zar ve bir para atılırsa kaç durum ortaya çıkar?

Fonksiyonlarda da, a nın nereye gideceği, b nin nereye gideceği, c nin nereye gideceği birbirinden bağımsız.

$A$ dan $B$ ye bir fonksiyon ($A\times B$ nin bir alt kümesi) kaç tane elemana sahip olmalı?

Bunların cevabını bulursan fonksiyon sayısını da bulursun, hepsini de tek tek yazabilirsin.

Bunları senin bulman daha yararlı olur.

---

Hocam alt küme hakkında şunu biliyorum

$2^n$ formülü kullanıyoruz bununda ispatı su şekilde

Elimde bir A kümesi olsun

$A={1,2,3}$ elemanlı olsun bu kümenin altı kume sayısını şöyle ifade ediyorum

Boş küme her kümenin alt kümesidir kuraliyla birlikte

A kümesinin alt kümeleri

{{boş kume}{1}{2}{3}{1,2}{2,3}{1,3}{1,2,3} oluyor sayarsak 8 tane alt kümesi oluyor hocam ama fonksiyonda nasıl oraya geçiş yapacam düşünemiyorum hocam

---

Zar için 6 durum para için 2 durum olur hocam

Burda ve bağlacı oluyor çünkü hem parayı atıyoruz hem zarı $6x2=12$ durum oluyor

---

@DoganDonmez hocam buldum çözdüm mantığı :)

f:(a,1)(b,2)(c,1)

f:(a,1)(b,2)(c,2)

f:(a,2)(b,1)(c,2)

f:(a,2)(b,1)(c,1)

f:(a,1)(b,1)(c,1)

f:(a,2)(b,2)(c,2)

f:(a,2)(b,2)(c,1)

f:(a,2)(b,2)(c,2)

Hocam yalnız $AxB$ nin alt küme sayısını anlayamadım sonucta A ile B ayrık kümeler bu kümelerin alt kümesi nasıl oluyor hocam.

---

Sayın@captan. Anlaşabilmemiz için bazı kavramların anlamında hem fikir olmamız lazım. Bunun için bazı kavramların tanımlarını (daha anlaşılır biçimde) yazacağım. Sonra sizin sorunuzun cevabını bulmaya çalışacağız.

BAĞINTI (tanımı):  Verilen $A\neq \phi$ ve $B\neq\phi $ kümeleri için $A\times B$ kümesinin her alt kümesine   $A$'dan $B$'ye bir bağıntı denir ve bu yaygın olarak$f:A\rightarrow B$' biçiminde gösterilir. Bilindiği gibi burada $A$ kümesine bağıntının tanım kümesi, $B$ kümesine ise değer kümesi diyoruz.  $s(A)=a,s(B)=b$      için $s(A\times B)=a.b$     olup, $A$'dan $B$'ye olan bağıntı sayısı :$2^{a.b}$ kadardır. FONKSİYON  dediğimiş şey ise $2^{a.b}$ tane bağıntıdan SADECE aşağıdaki iki koşulu sağlayanlardır.

1. Tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki bir elemanla eşlenmelidir.(Yani tanım kümesindeki bütün elemanlar mutlaka taşınmalıdır.)

2. Tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki bir ve yalnız bir elemanla eşlenmelidir. (Yani tanım kümesindeki herhangi bir eleman değer kümesindeki iki farklı elemanla eşlenmemelidir.)

Bu iki koşulu sağlayan bağıntılara fonksiyon diyoruz. Dikkat edilirse,her fonksiyonun bir bağıntı olduğu ancak her bağıntının bir fonksiyon olmadığı anlaşılacaktır.

Şimdi sizin sorduğunuz soruya gelelim.

Tanım kümesi :$A=\{a,b,c\}$ ve değer kümesi :$B=\{1,2\}$  olarak verilmiş. Dolayısıyla $s(A)=3, s(B)=2$ dir. Dolayısıyla $A$'dan $B$'ye olan bağıntı sayısı :$2^{3.2}=64$ kadardır. Bunlardan bazı örnekler yazalım.

$f_1=\{(a,1),(a,2)\}$ ($f_1$ bağıntı ama fonksiyon değil.Çünkü hem $b$ ile $c$ elemanları eşleştirilmemiş yani 1. kural sağlanmamış hem de $a$ elemanı hem $1$ ile hemde $2$ iki ile eşlenmiş olup bu fonksiyon olmanın 2. kuralına aykırıdır)

$ f_2=\{(a,1),(b,1),(b,2),(c,1)\}$ ($f_2$ bağıntı fakat fonksiyon değil. Fonksiyon olmanın 1. kuralı sağlanmış fakat 2. kural sağlanmamıştır. Çünkü $b$ elemanı hem $1$ ile hemde $2$ ile eşleşmiş.)

$ f_3=\{(b,2),(c,1)\}$ ($f_3$ bağıntı ama fonksiyon değil?Siz nedenini bulun)

$ f_4=\{(a,1),(b,1),(c,1)\}$ ($f_4$ fonksiyondur. Çünkü fonksiyon olmanın her iki koşulunu da sağlıyor.)

$ f_5=\{(a,2),(b,2),(c,2)\}$ ($f_5$  fonksiyondur.)

$ f_6=\{(a,1),(b,2),(c,1)\}$( $f_6$'nın ne olduğuna siz karar verin ).

Buraya kadar yapılan açıklamalardan $A\rightarrow B$ olan bağıntılardan birinin fonksiyon olması için:

$(a,1),(a,2)$ sıralı çiftlerinden YALNIZ BİRİSİNİ MUTLAKA İÇERMESİ GEREKTİĞİNİ, benzer olarak

$(b,1),(b,2)$ sıralı çiftlerinden YALNIZ BİRİSİNİ MUTLAKA İÇERMESİ GEREKTİĞİNİ,  ve benzer olarak

$(c,1),(c,2)$ sıralı çiftlerinden YALNIZ BİRİSİNİ MUTLAKA İÇERMESİ GEREKTİĞİNİ umarım anlamışızdır.

 O halde fonksiyon sayısının :$C(2,1).C(2,1).C(2,1)=2.2.2=2^3=8$ olduğunu görürüz.

---

Anladım @MehmetToktas hocam teşekkür ederim.