Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
468 kez görüntülendi

arctanx, $(-\infty,\infty)$ aralığında düzgün süreklidir.

Şu yolla göstermek istiyorum. Eğer $f'$ bir aralıkta mevcut ve sınırlı ise o aralıkta düzgün süreklidir.

$(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2} \le 1$ . Bu yeterli oluyor mu ?

Lisans Matematik kategorisinde (303 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 468 kez görüntülendi

Bu linkteki teorem Lipschitz sürekliliğin bir karakterizasyonu (Kanıtı var). Ayrıca her Lipschitz sürekli fonksiyon düzgün süreklidir. Bunun da kanıtı sitede var.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yorumda bu linkte yer alan teoremin Lipschitz sürekliliğin bir karakterizasyonu olduğunu ifade etmişim ama bu doğru değil. Şöyle ki; söz konusu linkteki teoreme Lipschitz sürekliliğin bir karakterizasyonu dediğimizde sanki Lipschitz süreklilik sadece tanım kümesi aralık olan fonksiyonlar için mevzu bahis ediliyor gibi anlaşılabilir. Oysa ki Lipschitz süreklilikten bahsedebilmek için fonksiyonun tanım kümesinin illa ki bir aralık olması gerekmez. Tanım kümesi aralık olan fonksiyonlar için ilgili linkteki gibi bir denklik olduğundan ve her Lipschitz sürekli fonksiyon düzgün sürekli olduğundan ilgili linkteki sonucu kullanarak seni sorunu şu şekilde kolayca yanıtlayabiliriz:

Her $x\in (-\infty,\infty)$ için $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\le 1$ olduğundan ilgili linkteki teorem gereğince $f$ fonksiyonu Lipschitz süreklidir. Her Lipschitz sürekli fonksiyon düzgün sürekli olduğundan söz konusu fonksiyon düzgün süreklidir.

(11.4k puan) tarafından 
20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,975,488 kullanıcı