$(a,b)$ aralığında $f'\left( x\right) \leq 0$ ise $f, (a,b)$ aralığında azalandır.

Question

Soruya nasıl başlasam bilemedim, küçük ipucu verirseniz bir ucundan tutarım.

Comments

Bir $c \in (a,b)$ noktası al. Bu noktadaki türevin tanımını yaz (eğimden gelen, limitli tanım). Bu limit $x \to c$ iken baktığımız bir limit. Şimdi $x \to c^-$ ve $x\to c^+$ durumlarını incele.

Answer 1

Ortalama Değer teoremini kullanıp göstericem

$f'\left( x\right) \leq 0$ olsun ve $x_1,x_2 \in (a,b)$ alıcaz öyle ki $x_1 < x_2$ olsun. Şimdi $f(x)$ fonksiyonuna $(x_1,x_2)$ aralığında ortalama değer teoremini uyguluyorum.

$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac{f\left( x_2\right) -f\left( x_1\right) }{x_2-x_1}=f'\left( c\right) $ ,$c\in (x_1,x_2)$

Eşitliğin sağ tarafı, varsayımdan negatif ve diğer tarafta olan payda pozitif. Demek ki pay kısmı negatif olmalı.

$f(x_2)-f(x_1)\le 0 \to f(x_2) \le f(x_1)$

O halde fonksiyon azalanmış.