Kenar uzunluğu $s$ olan düzgün bir $n$-gen alalım. Bu $n$-geni sarmalayan çemberin yarıçapı
$$R = \frac{s}{2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$
içine sığan çemberin yarıçapı ise
$$r = \frac{s}{2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$
Bu ikisinin oranı
$$q_n = \frac{r}{R} = \cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
Şimdi şu iç içe geçmiş yapıyı düşünelim: $R_0$ yarıçaplı bir çemberle başlıyoruz, içine düzgün $3$-gen çiziyoruz, sonra ona sığan çemberi, sonra düzgün $4$-gen, sonra ona sığan çember... Yarıçap dizisi
$$\rho_3 = R_0, \qquad \rho_{n} = \rho_{n-1} \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
buradan
$$\rho_n = R_0 \cdot \prod_{k=3}^{n} \cos\!\left(\frac{\pi}{k}\right)$$
$\rho_\infty$'un sıfıra gidip gitmediğini anlamak için çarpımı toplamaya çeviririz:
$$\log \rho_\infty = \log R_0 + \sum_{k=3}^{\infty} \log \cos\!\left(\frac{\pi}{k}\right)$$
$k \geq 3$ için $0 < \cos(\pi/k) < 1$,
Dolayısıyla her terim $\log\cos(\pi/k) < 0$.
Toplam ya sonlu negatif bir $L$'ye yakınsar ya da $-\infty$'a ıraksar.
Birinci durumda $\rho_\infty = R_0 e^L > 0$,
ikincisinde ise $\rho_\infty = R_0 e^{-\infty} = 0$.
Hangisi olduğunu görmek için el sallayarak taylor acalim biraz
$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$$
$$\log(1-u) \approx -u \quad (u \to 0)$$
$$\log \cos x \approx \log\!\left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \approx -\frac{x^2}{2}$$
$x = \pi/k$ koyarsak
$$-\log \cos\frac{\pi}{k} \approx \frac{\pi^2}{2k^2}$$
$\sum 1/k^2$ yakınsadığından ($= \pi^2/6$) bu toplam da yakınsar.
Yani bu iç içe çember-çokgen yapısı bir noktaya büzülmez; pozitif yarıçaplı bir limite yaklaşıyor.