Homojen polinomlar

Question

Anladığım kadarıyla geometri kitaplarında homojen polinom kavramını tanımlamanın tek nedeni $\forall \lambda, P(X)=0 \implies P(\lambda X)=0$ eşitliğinin sağlanması ki projektif uzayda sorun yaşamayalım. (Homojen polinom tanımlamanın başka ne avantajı olabilir?)

Bunun için de verilen tanım genelde $\exists k \in \mathbb{N}, \forall \lambda,  P(\lambda X)=\lambda^k P(X)$ veya "aynı dereceli terimlerin toplamı" oluyor.

\[ \exists k \in \mathbb{N}, \forall \lambda, P(\lambda X)=\lambda^k P(X)  \implies [ \forall \lambda, P(X)=0 \implies P(\lambda X)=0] \]

ve

\[ P(X)=\sum_{k_1+...+k_n=d} c_i x_1^{k_1}\dots x_n^{k_n}  \implies  \exists k \in \mathbb{N},\forall \lambda,  P(\lambda X)=\lambda^k P(X) \]

çıkarımları benim için bariz ama iki önermenin de ters yönünü kanıtlayamadım. Ancak ve ancak olmalı mı ondan da çok emin değilim.

Comments

Soruyu yanlış anlamadıysam cevabım:
$\lambda=1$ alırsın.

---

$\forall \lambda$ ekledim, sanırım böyle daha iyi ifade ettim.

---

1. nin (karşıtı) her cisimde doğru değil. Örneğin:

$\mathbb{Z}_p$ cisminde $P(X)=X^p-X$ polinomu için:

$\forall\lambda,\ \forall X,\ P(X)=0\Rightarrow P(\lambda X)=0$ doğru ama $P(X)$ homojen değil.

(orada, bir de, $\forall X$ olması gerekiyor. Sadece $X=0$ için doğru olması yetmez)

Cisim için (basit) bir koşul eklemek gerekiyor.

DÜZELTME : 2. nin (karşıtı) da benzer:

Orada, $X$ ve $\lambda$ değişkenli polinomların eşitliği kastediliyor, $X$ değişkenli polinomların eşitliği değil (o nedenle , bu şekilde düşününce, $\forall \lambda$ gereksiz oluyor ve ispatı kolay.).

Cisim sonsuz olunca (1. önermede de ek koşul aynı) bu da doğru oluyor.

Aksi halde $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_2$ için, $\forall k\in\mathbb{N}^+$ ve sabit terimi $0$ olan her polinom ve $\forall \lambda\in\mathbb{Z}_2$ için elbette $P(\lambda X)=\lambda^k P(X)$

---

$charK=0$ alırsak bu sorunlar çözülür galiba. Bu durumda nasıl kanıtlarız?