Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
168 kez görüntülendi

Kompleks eşlenik kök teoremi'ni iyi biliyoruz. Nette reel eşlenik kökler ile ilgili olması gerektiğini düşündüğüm bir önermeyi aradım ama bulamadım. Bu önermeyi ve düşündüğüm ispatımı yazacağım. Eğer önerme yanlışsa yanlışlayan bir örnek vermenizi, eğer önerme doğruysa ispatını da içeren bir çözüm/bağlantı paylaşmanızı rica ediyorum. Verdiğim ispat özensiz/kusurlu olabilir, düzeltilecek kısımlar olursa belirtebilirsiniz. Başlayalım:

 

Önerme: Rasyonel katsayılı $n$-inci dereceden $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0$ polinom denkleminin bir kökü $x=p+\sqrt{q} \iff $ olması için gerek ve yeter şart $x=p-\sqrt{q}$ sayısının da bir diğer kök olmasıdır. (Burada $p, q$ rasyonel sayılar olup $q>0$ sayısı bir rasyonel sayının karesine eşit değildir.)

 

İspat: $x=p+\sqrt{q}$ köküne sahip en küçük dereceli rasyonel katsayılı polinomun derecesi ($1$ olamayacağına göre) $2$'dir. Bu denklemi oluşturmak için $x-p = \sqrt{q}$ eşitliğinin iki tarafının karesini alalım ve $x^2 - 2px + p^2 - q = 0$ denklemini oluşturalım. O halde $P(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$ polinomu $x^2 - 2px + p^2 - q$ çarpanına sahiptir. Diğer bir deyişle, $P(x)=(x^2 - 2px + p^2 - q)Q(x)$ olacak biçimde rasyonel katsayılı bir $Q$ polinomu vardır. $x=p-\sqrt{q}$ sayısı da aynı $x^2 - 2px + p^2 - q = 0$ denklemini sağladığından bu sayı $P$ polinomunun bir diğer köküdür. Aynı ispat adımları $x=p-\sqrt{q}$ sayısının polinom denkleminin bir kökü olduğu varsayılarak da yapılabilir. Böylece, çift yönlü gerektirme doğrudur.

 

Not: $q=0$ iken önerme yeni bir kök üretmez. $q<0$ iken kompleks kökler vardır ve kompleks eşlenik kök teoreminin özel bir durumu elde edilmiş olur.

 

Lisans Matematik kategorisinde (2k puan) tarafından  | 168 kez görüntülendi

Burada buldum. Aynı sorudan birkaç tane daha sorulmuş. Bir kitapta alıştırma olmalı. Dummit and Foote belki?

Özgür hocam merhaba. Bu teoremin uygulaması olan soruları ünv hazırlık öğrencilerime polinom içerikli derslerimde sunuyorum. Mat olimpiyatı çalıştırdığım kuvvetli bir öğrenci için hazırladığım problem listesinde teoremin kendisine yer vereyim dedim. Sonra reel eşlenik kök teoremine referans aramaya karar verdim. mathwold, Wikipedia, proofwiki, brilliant, AoPS sitelerinde de göremeyince "neden bu teoremi nette bulamıyorum?" sorusu oluştu.

İlginiz için çok teşekkürler ☺️
19,731 soru
21,419 cevap
71,973 yorum
306,223 kullanıcı