Faktöriyel sorusu kpss ön lisans

Question

x bir doğal sayıdır.

$\frac{10!}{2^x}$

İfadesinin sonucu pozitif tam sayı olduğuna göre, x' in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

-burda neden 10! un içinde kac tane 2 olduğunu bulmamız gerekiyor?

Comments

İlk önce şu gözlemleri yapalım:

1) bir sayı dört ile bölünüyor ise iki ile de bölünür.

2) bir sayı sekiz ile bölünüyor ise dört ile de bölünür.

3) bir sayı $2^x$ ile bölünüyor ise $x$'ten küçük her $y$ için $2^y$ ile de bölünür.

Bunlara inanıyor musun, inanıyorsan devam edelim. Inanmıyorsan oradan devam edelim.

---

Evet anladım devam

---

Şahane!

O zaman soruda verilen özelliği sağlayan en büyük $x$'i bulursak soruyu neredeyse bitirmiş oluruz dimi?

Mesela atıyorum bu özelliği sağlayan en büyük sayı 8 ise, 7, 6, 5, 4 ... de sağlayacağı için istediğimiz cevap 8+7+6+5+4+3+2+1 olurdu.

O zaman sormamız gereken soru şu:

$$\frac{10!}{2^x}$$

ifadesini pozitif tam sayı yapan en büyük $x$ tamsayısı kaçtır?

Buna katılıyor musun?

---

Evet doğru devam

---

Ok şimdi aynı soruyu yapmayalım da, 6! yapalım 10! Yerine. 10!'i sen yaparsın kendin. Ana fikir: her sayıyı asal çarpanlarına ayırabiliriz.

$$6! = 6.5.4.3.2.1 = 3.2.5.2^2.3.2.1 = 2^43^25$$

Buradan da aradığımız en büyük $x$ sayısının $4$ olduğunu görebiliriz (neden?). Dikkat ettiysen 3 ile 5 ile hiç ilgilenmedik tek ilgilendiğimiz $2$^nin üsleri idi. Yani $6!$' içinde kaç tane $2$ var sorusu ile ilgilendik.

---

Tm anladim teşekkürler

---

Cevabı yazmak ister misin 10! için? Hem anlayıp anlamadığını kontrol etmiş oluruz, hem de soru boş kalmaz.

Bu arada yukarıdaki ilk iki gözlemden sonucun

1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 ...

Yani

1, 3, 6, 10, ..

gibi bir sayı olacağını biliyorduk. Senin dün sormuş olduğun ve benim kapattığım soruda şıklar da vardı. O soruda bu şekilde yazılmış tek bir şık vardı.

1,3,6,10,15,21,28,36,...

(Sorunun doğru olduğunu kabul edersek) direkt olarak 36 diyebilirdin de.

---

Bunu anlamadim

---

$10!= 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1$

$10! = 5.2.3^2.2^3.7.3.2.5.2^2.3.2.1$

$10!= 5^2.3^4.2^8.7$

Bu özelliği sağlayan en büyük sayı $2^8$ olduğu için 8. $2^8$ e bölünen her sayı x<8 olan sayılara da bölünür.

Soruda x'in alabileceği değerlerin toplamını istemiş

Cevap 8+7+6+5+4+3+2+1= 36

Böyle mi

---

Evet, şahane. Bu kadar.

Son söylediğim şey de şuydu: cevabın 1+2+3+... +x formunda olacağını biliyoruz. Yani cevap 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 gibi bir şey olacak. Bu sayılardan sadece 36 vardı senin sorunun şıklarında. Diğer sayılar bu formda değildi.

---

Tm bunu da şimdi anladim. Teşekkürler