Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
236 kez görüntülendi

DoganDonmez hoca su sorunun cevabindaki yorumda her puruzsuz yuzeye istedineln kadar yakin bir polihedra bulunabileceginden bahsetmisti.

Polihedralarin su ozelligi sagladigini biliyoruz

$V - E + F  =2 $

Burada  $V$ polihedranin  kose, $E$ kenar, $F$ ise yuz sayisi.

Acaba bu teoremin bir benzeri puruzsuz yuzeyler icin de gecerli mi ?

 

Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 236 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$V-E+F=2$ eşitliği sadece "küre gibi" olan polihedralarda sağlanır.

Simit yüzeyi gibi olanlar için $V-E+F=0$ sağlanır. (Başkaları da var elbette, onlarda da benzer eşitlikler var)

Tüm kompakt ve sınırı olmayan yüzeyler (2 boyutlu topolojik manifold) için Euler formülü benzeri bir formül var, Euler sayısı denen bir (Hatta daha yüksek boyutlu manifoldlar (çokkatlı) için de)  tamsayı var.

Polihedrona homeomorf olanlarda, polihedron için hesaplanan bu sayıyı kullanabiliriz ama farklı polihedronlarda aynı sayının çıkacağını nerden bileceğiz?

Bu sayının aynı olacağını gösteren ve polihedron kullanmadan hesaplanan ve polihedronlarda buna eşit olan sayı şöyle tanımlanır:

wikipedia )

Çokkatlının, homoloji veya kohomoloji gruplarının ranklarından  (rank:abelyen grubun serbest kısmının üreteç sayısı) benzer işlemle (sırayla $\pm$ toplama) elde edilen sayıya Euler sayısı deniyor.  Kürede 2, simit yüzeyinde 0, projektif düzlemde 1 vs.

Bu sayı, çok önemli bir soruya cevap veriyor:
Türevlenebilen  çok katlılarda, hiç bir yerde 0 olmayan teğet vektör alanı olup olmadığı sorusuna bu sayıya bakarak cevap vermek mümkün: 0 ise var, değilse yok.

Örneğin kürede (bu sayı 2 olduğu için)böyle bir vektör alanı yok, bu nedenle 3 boyutlu uzayda "güzel" bir çarpma tanımlayamıyoruz.

3 boyulu kürede bu sayı 0, 4 boyutlu uzayda güzel bir çarpma var: Kuaterniyon (Hamiltoniyan) çarpımı.

7 boyutlu kürede de bu sayı 0, 8 boyutlu uzayda güzel bir çarpma var: Cayley  sayıları.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,348 kullanıcı