$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$((X,\tau), \text{ ayrılabilir})(Y\in\tau\setminus\{\emptyset\})\Rightarrow (Y,\tau_Y), \text{ ayrılabilir}$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani ayrılabilir uzayların açık altuzaylarının da ayrılabilir olduğunu gösteriniz.

Not: $(X,\tau)$ topolojilk uzay olsun.

$$(X,\tau), \text{ ayrılabilir}:\Leftrightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq\aleph_0\wedge \overline{A}=X)$$

Answer 1

$(X,\tau)$ ayrılabilir ve $Y \in \tau$ olsun.

$\left. \begin{array}{rr} (X,\tau)  \text{ ayrılabilir} \Rightarrow  (\exists A \subseteq X) (|A| \leq \aleph_{0} \wedge \overline{A}=X) \\ \\ Y \in \tau \end{array} \right\}\Rightarrow $

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (A\cap Y\subseteq Y)(|A\cap Y|\leq |A|\leq\aleph_{0} \wedge Y=X\cap Y=\overline{A}\cap Y\subseteq \overline{A \cap Y} \\ \\ B:=A\cap Y\end{array} \right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow  (B \subseteq Y) (|B| \leq \aleph_{0} \wedge Y=\overline{B}).$