Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
323 kez görüntülendi
Aklıma hiçbir şey gelmedi.
Lisans Matematik kategorisinde (194 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 323 kez görüntülendi
Önce şunları düşünmemiz gerekmez mi?

$(-1)^{\frac1{2}}=?,(-1)^{\frac34}=?, (-1)^{\sqrt2}=?,\ (-1)^{\pi}=?,\ $
Bir hayırsever kompleks integral serisi paylaşsa ufak ufak, dizi gibi, çok sevaba girer bence.
Aslında Doğan hocam ipucunu vermiş. Ben de şunları ilave edeyim. Fonksiyonların integralinden bahsederiz. Dolayısıyla öncelikle şu soruya yanıt vermen gerekir. $$\beta=\{(x,(-1)^x)|x\in [0,1]\}$$ bağıntısı bir fonksiyon mudur?
$e^{i \pi} $
(1) Kompleks integrale giremiyor muyuz?
(2) Girebiliyorsak nasıl girebiliyoruz?

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
$a^x$ ifadesi, eğer $x$ bir tamsayı değilse, sadece pozitif $a$'lar için tanımlanır, dolayısıyla sorunuz anlamlı değildir. $a>0$ iken $a^x$ ifadesi iki türlü tanımlanabilir:

1. Doğal Tanım: $n, m \in \mathbb{N}$ ve $m\neq 0$ ise $a^{n/m}$ ifadesi şöyle tanımlanır: $a^{n/m}=y \iff a^n = y^m$. Bu tanımın $n$ ve $m$'nin seçiminden bağımsız olduğunu, sadece $n/m$'ye göre değiştiğini göstermek gerekir, ki eğer $a<0$ ise bu doğru değildir. Şimdi eğer $x$ bir reel sayıysa, $x$'e yakınsayan bir $(q_n)_n$ kesirli sayısı seçin ve $a^x = \lim_{n\rightarrow \infty} a^{q_n}$ tanımını yapın. Bu limitin, $x$'e yakınsayan $(q_n)_n$ kesirli sayı dizisinden bağımsız olduğunu göstermek gerekir.

2. Sofistike Tanım: $a^x = \exp(x \ln a)$. Burada da eğer $a \leq 0$ ise, $\ln a$ diye bir sayı olmadığından, illa ki $a$'yı 0'dan büyük seçmek gerekir.
(899 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Mathematica soyle hesapliyor..

(2.7k puan) tarafından 
$-1=e^{i\pi}$ yapıp karmaşık integral olarak alma tam olarak bu.
0 beğenilme 1 beğenilmeme
\[ \int_{0}^{1} (-1)^x \,dx \] belirli integralini hesaplamak için önce \[ \int (-1)^x \,dx \] belirsiz integrali hesaplayalım \[ \int (a)^x \,dx\,=\ \frac{a^x}{lna}\] eşitliği yardımıyla \[ \int (-1)^x \,dx\,=\ \frac{(-1)^x}{ln(-1)}\] olacaktır. Reel sayılar kümesinde negatif sayının logaritması tanımsızdır bu nedenle sonuç tanımsızdır.
(13 puan) tarafından 
19,507 soru
21,235 cevap
71,438 yorum
30,329 kullanıcı