Ters fonksiyonun türevi

Question

$f(x)$ fonksiyonu $A$ kümesinde türevlenebilir birebir bir fonksiyon ve $x\in A \Rightarrow f'(x)\neq0$ ise $f^{-1}$ fonksiyonu ($f$ fonksiyonunun bileşkesel tersi) da $f(A)$ kümesinde türevlenebilirdir ve sonucu $\dfrac{1}{f'(f^{-1})}$'e eşittir. Gösteriniz.

Answer 1

Eğer $f(x)$ fonksiyonu $A$ kümesinde türevlenebilir ise $f^{-1}$ fonksiyonu da $f(A)$ kümesinde türevlenebilirdir. Çünkü $f^{-1}$ fonksiyonu grafiği $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $y=x$ eksenine göre simetriğidir dolayısıyla $f(x)$ fonksiyonunda eğimi hesaplanabilen bölgeler, fonksiyonun $y=x$ eksenine göre simetriği alındığında da da eğimi hesaplanabilir (türevli) olacaktır. ($f'(x)\neq0$ kabul ettik)

$f(a)=x$ ve $f(a+\Delta a)=x+\Delta x$ kabul edelim. Öyleyse

$f^{-1}(x)=a$ ve $f^{-1}(x+\Delta x)=a+\Delta a$'dır. $f$'nin $a$'da türevlenebilir olduğunu kabul ettiğimizden $f$, $a$'da süreklidir ve bu da cevabın en başında bahsettiğim durumdan ötürü $f^{-1}$ fonksiyonunun $f(a)$'da ($x$'te) sürekli olmasını gerektirir. O zaman

$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta a=0$ olur.

Bulmak istediğimiz $(f^{-1})'(x)$'in $f$ ve $f^{-1}$ cinsinden değeri. Türevin limit tanımını kullanarak

$(f^{-1})'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f^{-1})(x+\Delta x)-(f^{-1})(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{a+\Delta a-a}{\Delta x}=\dfrac{da}{dx}$

$f'(a)=\dfrac{dx}{da}$ olduğundan

$(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(a)}=\dfrac{1}{f'((f^{-1})(x))}$ bulunur.

Comments

@emresafa, $\Delta a=f^{-1}(x+\Delta x)-a=f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}(x)$ olduğu için,

$f$ nin sürekli olması,

$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta a=0$ olduğunu göstermeye yetmez.

Bu limitin doğru olması için, $f^{-1}$ fonksiyonun, $x$ de  sürekli olmasına gerek var.

Onu göstermelisin. $A$ herhangi bir küme ise bunu yapabilir misin?

---

Evet hocam o kısım eksik kalmış düzelttim. Cevabın en başında bahsettiğim durum her A kümesi için bunu gerektiriyor diye düşünüyorum $A$ ayrık kümelerden oluşmuş bir küme de olsa fonksiyonun belli bir noktada eğimi varsa $x=y$ eksenine göre simetriği alındığında da eğimi vardır(Eğimin 0 olduğu durum hariç).

---

Matematikde bir iddianın ispatını yaparız.

Geometri bize ters fonksiyonun türevlenebileceği veriyor ama nasıl türevlenebildiğini ispatlamak gereği duyuyorsan, sürekli olduğunu (sürekliliğin geometrik bir tanımının da var olmadığını düşünürsek) da ispatlamak gerekir.

Aslında her $A$ için ters fonksiyon sürekli olmuyor. $A$ kümesi için bir koşul eklemek gerekiyor.