5 ardışık doğal sayının toplamı bir tam küptür.İlk ve son sayı hariç diğer 3 sayının toplamı ise bir tam karedir.Buna göre 3.sayının alabileceği en küçük değerin rakamları çarpımı kaçtır?

Question

Tüm sayıların toplamını bir a^3'e, ortadaki 3 sayıyı b^2'e eşitleyerek 2 kare farkından yararlanmaya çalıştım ama yapamadım.Yardımcı olursanız sevinirim.

Comments

Bende baktimda yapamadım ama şöyle düşündüm

Bı kere biri $a^3$ diğeri $b^2$ burda iki kare farkı olması için iki ifadede kare şeklinde olmalı

Ikincisi ise tüm sayılarının toplamına $a^3$ dersek

Son ve ilk hariç sayıların toplamına $b^2$ desek bu yaptığımız 2 denklem birbine eşit olamaz.

---

Haklısınız sanırım.Bayadır düşünüyorum bulamadım umarım yardımcı olacak birileri çıkar.

---

Fakat şöyle yaptım galiba tam anlatamadım.5x+10=a^3 ve 3x+6=b^2 dedim (a^3-b^2) ve (a^3+b^2) bu iki eşitlikten bulunabiliyor yani (2x+4)(8x+16) =(a^3-b^2)(a^3+b^2) buldum bilmiyorum yanlış mı bu?

---

$a^3-b^2$ yi neye göre yazdınız çünkü ikisinin farkının neye eşit olduğunu bilmiyoruz bende sizin gibi $x,x+1,x+2,x+3,x+4$ gibi yazdım ordan cikardim ama farklarının kaça eşit olduğunu bilmiyoruz $a^3-b^2$ ifadesinin iki kare farkı olarak yazamayız.

---

Soruyu çözdüm.Biraz deneme yanılma oldu.5+10 = a^3 olduğuna göre x'in tam sayı olması için a'nında 5'in katlarından biri olması lazım dedim ve 3x+6'yıda sağlayan en küçük değeri buldum.a=15^3 dediğimi sağlayan en küçük değer.x burdan 673 çıkıyor x+2'nin rakamları çarpımıda 210.Başka nasıl yapılır bilmiyorum.

---

Biraz karışık yazmissin pek anlayamadım cevap olarak yazarsan detaylı olarak sevinirim kanka:)

---

Tüm sayıların toplamı bir tam küpmüş.1.sayıya x dersek tüm sayıların toplamı 5x+10 olur.x'in tam sayı olabilmesi için a'nında 5'in katı olması lazım.Bende hem 3x+6'yı tam kare yapan, hem 5x+10'yı tam küp yapan x değerini arıyorum.a sayısına sırayla 5,10 ve 15 değerini verdim.Örneğin 5 verince a^3=125 oldu 5x+10 = 125 oluyor dolayısıyla x burdan 23 çıkıyor.fakat 3x+6'da x'in yerine 23 yazınca 75 sonucu çıkıyor yani tam kare değil.Aynı şekilde 10'da sağlamıyor.Fakat a'ya 15 deyince 15^3=3375 çıkıyor 5x+10=3375 eşitliğinden x 673 çıkıyor.3x+6 eşitliğinin tam kare olması gerektiğini biliyoruz.x yerine 673 yazınca 3.673+6=2025 çıkıyor yani 45'in karesi.x'in 673 olduğunu bulduğumuza göre 3.sayı x+2=675 olur rakamları çarpımı ise 6*7*5=210.

Answer 1

$5x+10=a^3$ ve $3x+6=b^2$ olduğunu Prophecy bulmuş.

Devamı şöyle getirilebilir:

$5(x+2)=a^3$ ve $3(x+2)=b^2$ olur.

Buradan (3 ve 5 asal olduğu için) $5\mid a$ ve $3\mid b$ olur.

$a=5c,\ b=3d$ olsun. $x+2=25c^3$ ve $x+2=3d^2$ olur

$25c^3=3d^2$ den, $5\mid d$ ve $3\mid c$ buluruz.

Buradan da, $c\geq3$ olmak zorundadır.

İlk denemede $x+2=25\cdot3^3$ ve $x+2=3\cdot(15)^2$ olduğu görülür.

Comments

Aslında bir adım daha ilerleterek, denemeye gerek kalmadan da bulunabiliyor.

($c=3e,\ d=5f$ olsun. $9e^3=f^2$ olur ve $e=1,\ f=3$ bunları sağlayan en küçük sayılardır.

---

Hocam elinize emeğinize sağlık anlamadığım bı nokta var

Mesela $5 | a$ yazmışsınız ya bunun anlamı nedir

$a=5c,b=3d$ bu oranı nereden buldunuz hocam.

Bide hocam mesela

$5a=3b$

$2b=10c$

olsa burda harflere $k$ değeri verirken $b$ ler ortak olduğun için $b$ hem $3$ un

$b$ hemde $2$ nin mi katı olucak olmuyorsa neden olmuyor Doğan Hocam.

---

Çok teşekkürler hocam.

---

@Captan ($a,b$ doğal sayı veya tamsayı olmak üzere) $a\mid b$ sembolü ($a,\ b $ yi tam (kalansız) böler  anlamında, sıkça kullanılır.

eşdeğer şekli:

$a\mid b\Longleftrightarrow b=ac$ olacak şekilde bir $c\in\mathbb{Z}$ vardır. (Bu da ikinci sorunun cevabı)

(harflere $k$ değeri vermek ne demek? Burada orantı yok)