Pascal ucgeni ve matriks exponensiyeli

Question

Bugun soyle kucuk bir sey farkettik.

$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ ve $A_{i,i+1} =i$ olsun. Bu matrisin exponensiyelini alirsak elimize Pascal ucgeni geciyor.

Offdiagonali $[1, 2, 3, \cdots]$ seklinde yazmak yerine, $[-n,\cdots,-3,-2,-1,0,1, 2, 3, \cdots]$ seklinde yazinca da negatif sayilar icin binomial katsayilar geliyor  (tabii ki hepsi degil bir yerde kesiliyor)

 Neden acaba?

Answer 1

Detaylara çok dikkat etmeden vereceğim bir cevap olacak ama şöyle açıklanabilir.

Reel katsayılı polinomlardan oluşan sonsuz boyutlu bir vektör uzayı düşünelim. Bir $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots$ polinomu için bu uzaydaki bir vektörü $v =(a_0 \quad a_1 \quad a_2 \quad\dots)^T$ şeklinde temsil edebiliriz. Bu vektörler için öyle bir matris var ki ismi $\frac{d}{dx}$ olsun, bize bir polinomun türevi olan polinomun katsayılarını verir. Emin olmak için $f'(x)$ ile karşılaştırın.

 $\frac{d}{dx} v =  \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 3a_3 \\ \vdots \end{pmatrix}$

Genel olarak bir türev alma işleminin üssünün fonksiyonlar üzerinde ilginç bir özelliği var. Bir $a$ reel sayısı için:

$\exp \Big(a {\frac{d}{dx}} \Big) g(x) = \Big(1 + a \frac{d}{dx} + \frac{1}{2!} a^2\frac{d^2}{dx^2} + \dots \Big) g(x) = g(x) + a g'(x) + \frac{1}{2!} a^2 g'(x)^2 + \dots = g(x + a)$

bu üs etkidiği fonksiyonun $a$ kadar ötelenmiş halinin Taylor serisini veriyor.

Bu soruda ilgilendiğimiz matris:

$\exp {\frac{d}{dx}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ddots\end{pmatrix}$ aynı zamanda şunu da sağlamalı $\exp \frac{d}{dx} \Big[ g(x) \Big] = g(x+1)$

Bir matrisin $k$'ıncı sütununu seçmek için onu $k$'ıncı girdisi $1$ diğerleri $0$ olan bir vektörle çarpmak yeterli:

$ \exp \frac{d}{dx} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}$ aynı zamanda $\exp \frac{d}{dx} [x^3] = (x+1)^3$ olmalı. Artık daha açıkça görülüyor ki bu tarz bir polinomun binom açılımı Pascal üçgenindeki ilgili sırayı verecek.

Comments

bu soruda baska bir sekilde daha cozulmus oldu