Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
172 kez görüntülendi
Bugun soyle kucuk bir sey farkettik.

$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ ve $A_{i,i+1} =i$ olsun. Bu matrisin exponensiyelini alirsak elimize Pascal ucgeni geciyor.

Offdiagonali $[1, 2, 3, \cdots]$ seklinde yazmak yerine, $[-n,\cdots,-3,-2,-1,0,1, 2, 3, \cdots]$ seklinde yazinca da negatif sayilar icin binomial katsayilar geliyor  (tabii ki hepsi degil bir yerde kesiliyor)

 Neden acaba?
Lisans Matematik kategorisinde (1.2k puan) tarafından  | 172 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Detaylara çok dikkat etmeden vereceğim bir cevap olacak ama şöyle açıklanabilir.

Reel katsayılı polinomlardan oluşan sonsuz boyutlu bir vektör uzayı düşünelim. Bir $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots$ polinomu için bu uzaydaki bir vektörü $v =(a_0 \quad a_1 \quad a_2 \quad\dots)^T$ şeklinde temsil edebiliriz. Bu vektörler için öyle bir matris var ki ismi $\frac{d}{dx}$ olsun, bize bir polinomun türevi olan polinomun katsayılarını verir. Emin olmak için $f'(x)$ ile karşılaştırın.

 $\frac{d}{dx} v =  \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 3a_3 \\ \vdots \end{pmatrix}$

Genel olarak bir türev alma işleminin üssünün fonksiyonlar üzerinde ilginç bir özelliği var. Bir $a$ reel sayısı için:

$\exp \Big(a {\frac{d}{dx}} \Big) g(x) = \Big(1 + a \frac{d}{dx} + \frac{1}{2!} a^2\frac{d^2}{dx^2} + \dots \Big) g(x) = g(x) + a g'(x) + \frac{1}{2!} a^2 g'(x)^2 + \dots = g(x + a)$

bu üs etkidiği fonksiyonun $a$ kadar ötelenmiş halinin Taylor serisini veriyor.

Bu soruda ilgilendiğimiz matris:

$\exp {\frac{d}{dx}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ddots\end{pmatrix}$ aynı zamanda şunu da sağlamalı $\exp \frac{d}{dx} \Big[ g(x) \Big] = g(x+1)$

Bir matrisin $k$'ıncı sütununu seçmek için onu $k$'ıncı girdisi $1$ diğerleri $0$ olan bir vektörle çarpmak yeterli:

$ \exp \frac{d}{dx} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}$ aynı zamanda $\exp \frac{d}{dx} [x^3] = (x+1)^3$ olmalı. Artık daha açıkça görülüyor ki bu tarz bir polinomun binom açılımı Pascal üçgenindeki ilgili sırayı verecek.
(145 puan) tarafından 

bu soruda baska bir sekilde daha cozulmus oldu

19,507 soru
21,235 cevap
71,438 yorum
30,330 kullanıcı