Bu seriyi anlayalım ve eşitini bulalım .$\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k(k+1)$

Question

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k(k+1)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k}_{(1+(-1))^n=0}+\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k\;k$

Ve bunun üzerinden gidelim , $\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k\;k$

Biliyoruz ki;  $\dbinom{n}{m}=\dfrac{n}{m}\dbinom{n-1}{m-1}$

Bundan dolayı söyleyebilirim ki;

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k\;k=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n-1}{k-1}(-1)^k\;n=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}(-1)^k}_{(1+(-1))^{n-1}=0}\;n+\underbrace{\dbinom{n-1}{-1}}_{\text{A}}n$

 $A$'yı araştıralım;

$A=\dbinom{n-1}{-1}=\dfrac{(n-1)!}{(-1)!n!}$

Biliyoruz ki $(-1)!=\infty$  "Kaynak:http://mathoverflow.net/questions/10124"

Bundan dolayı $A=0$ olur ve   $\quad \displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k\;k=\displaystyle\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}(-1)^k\;n+\dbinom{n-1}{-1}n=0$

Olur;

Bütün bunlardan sonra  $\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k(k+1)$ bu denklem $0$ 'a eşit olur mu? Hatalı mıyım?

Answer 1

Elimizde $ n\ge 1$ icin  $$(1-x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^kx^k$$var. Bunu $x$ ile carparsak   $$x(1-x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^kx^{k+1}$$ olur. Turevini alirsak $$(1-x)^n-nx(1-x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n(k+1)\binom{n}{k}(-1)^kx^{k}$$ olur.