Bir halkanın birden fazla yutan elemanı olabilirmi?

Question

Bir halkada 0 her zaman bir yutan elemandır.

Birimli bir halkanın 0'dan farklı bir yutan elemanı olmadığını göstermek kolaydır, ancak birimli olmayan halkanın 0'dan farklı yutan elemanı olabilir mi?

Burada yutan eleman şöyledir,

a/ her x için ax=a

Comments

Birimli halkada nasıl gösteriyorsun?

---

b bir yutan eleman ve a herhangi bir  eleman olsun.

ab=b ve (a+1)b=b olur

Buradan b=0 olur

---

Enteresan, güzel bir yöntemmiş. Başka bir yöntem birimli halkalar için:

 

$b$ yutan eleman olsun ve $0b$'yi (sıfır çarpı $b$) hesaplayalım.

---

EK: (çarpım değişmeli ise  veya tanım $ax=xa=a$ şeklinde yapılırsa)

Daha az varsayımla bile doğru:

$G$ bir yarıgrup (bir küme ve birleşme özelliğine sahip bir ikili işlem) olsun. (birleşme özelliği bile gereksiz ama o durumun bir adı yok)

$x,y\in G$, $x$ soldan yutan, $y$ sağdan yutan eleman olsun. (Tanımları tahmin edilebilir aşağıda da görülüyor,)

$x$ soldan yutan eleman olduğu için $xy=x$

$y$ sağdan yutan eleman olduğu için $xy=y$

olur. Bu nedenle $x=y$ dir

---

Güzel yöntem

---

Teşekkür ederim

Answer 1

Düzeltilmiş cevap:

Hiç bir halkada  0 dan başka yutan eleman olamaz.

$x$ bir yutan eleman olsun.

$x=x(x+x)=x\cdot x+x\cdot x=x+x$ den $x=0$ elde edilir.

EK:

Aslında daha kısa da ispatlanabilirmiş (0 ın, iki taraflı yutan olduğunu kullanarak):

(Üstteki yorumdaki fikir ile) $x=x\cdot0=0$

Comments

Teşekkürler hocam ellerinize sağlık