Bir çözüm:
Bu toplama A diyelim.
Toplamın en büyük olmasını istiyorsak, büyük katsayılı terimleri büyük sayılarla çarpmalıyız. Dolayısıyla $a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,a_5=5$ olarak alırsak toplam: $A=1+2.2+3.3+4.4+5.5= 55$ olur. A' nın en küçük olması için de küçük katsayılı terimleri büyük sayılarla çarpmalıyız. $A=5+2.4+3.3+2.4+5=35$ olur. Böylece istenen $55-35=20$ olur. şeklindedir.
Bu çözümde toplamın en büyük olması için $a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,a_5=5$ olarak alınmıştır. Bu ise eşit oldukları belirtilen $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ kümesi ile $\{1,2,3,4,5\}$ kümesi arasındaki bire-bir ve örten fonksiyonlardan(120 fonksiyondan) birisidir. Anlamak istediğim şey; A'nın en büyük olması için madem $f=\{(a_1,1),(a_2,2),(a_3,3),(a_4,4),(a_5,5)\}$ fonksiyonu seçildi, neden A'nın en küçük değerini bulurken başka bir fonksiyon, $f=\{(a_1,5),(a_2,4),(a_3,3),(a_4,2),(a_5,1)\}$ fonksiyonu seçiliyor. Buna hakkımız var mı? A'nın her iki değerinin de seçilen aynı fonksiyondan hesaplanması gerekmez mi? Yani sonucun sıfır olması gerekmez mi?
Ayrıca yukardaki çözümün kabuledilebilir olması için,kümelerin eşit olduğunu söylemek yerine $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\in\{1,2,3,4,5\}$ şeklinde verilmesi daha iyi olmaz mıydı?