İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülüne benzer formüller

Question

Bu tam olarak bir soru değildir.

$A,B$ iki (sonlu) küme ise:

$s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)\quad $  ($s(X):X$ (sonlu) kümesinin eleman sayısı)

formülü ilkokulda öğretiliyordur sanırım. Bu formülden (kolayca)

$s(A\cup B\cup C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A\cap B)-s(A\cap C)-s(B\cap C)+s(A\cap B\cap C)$ ve

benzer formüller, (sonlu sayıda sonlu kümenin birleşimi için) elde edilir.

Bu formülleri, bazı problemleri çözmek için, genelleştirmek istiyoruz.

$\cal{A}$, birleşim ve kesişim işlemleri altında kapalı, (kendisi de bir küme olan) bir kümeler topluluğu  ve $(G,+)$ bir Abelyen (değişmeli) grup olmak üzere 

$F:\cal{A}\to$ $ G, \quad\forall X,Y\in\cal{A}$ için $F(X\cup Y)=F(X)+F(Y)-F(X\cap Y)$ 

eşitliğini sağlayan bir fonksiyon olsun.

O zaman, üçlü,dörtlü,... kesişimler için eleman sayısı için yukarıdaki formüller, $F$ için de (aynı ispatlarla) geçerli olur. Yani (bu özellikteki her fonksiyon için) :

$F(A\cup B\cup C)=F(A)+F(B)+F(C)-F(A\cap B)-F(A\cap C)-F(B\cap C)+F(A\cap B\cap C)$

$F(A\cup B\cup C\cup D)=F(A)+F(B)+F(C)+F(D)-\cdots+\cdots-F(A\cap B\cap C\cap D)$

vs doğru olur.

(Aslında koşulumuzu: $F(X\cup Y)+F(X\cap Y)=F(X)+F(Y)$ şeklinde yazarsak, $(G,+)$ nın yarıgrup olması da yeterli olur)

Bu özellik, aşağıdaki $\cal{A}$ (kümeler topluluğu) ve $(G,+)$ için sağlanıyor.

1. $\cal{A}$ sonlu kümelerden oluşuyor, $G=\mathbb{Z}$ (+:bilinen toplama işlemi) için $F(X)=s(X)$ 

2. $\cal{A}$ sonlu kümelerden oluşuyor, $G=\mathbb{Z}_2$ (+:modüler aritmetik toplama işlemi) için $F(X)=\overline{s(X)}=[s(X)]$  (mod 2 denklik sınıfı)

3. $\cal{A}$, $\mathbb{R}$ nin tüm sonlu alt kümeleri, $G=\mathbb{R},\ F(X)= X$ deki elemanların toplamı. 

4. $\cal{A}$, $\mathbb{R}$ nin tüm sonlu alt kümeleri, $G=\mathbb{R},\ F(X)= X$ deki elemanların karelerinin toplamı.

Aklıma gelen sorular:

Başka değişik örnekler bulabilir miyiz?

3. Örneği  kullanarak daha önce bu sitede (yakın bir zamanda) sorulmuş bir problemi çözebilir miyiz?

Answer 1

Düzlem bölgelerinin alanı ve cisimlerin hacmi de benzer özelliğe sahiptir.

$\cal{A}:\ \mathbb{R}$ nin (hepsinin ortak bir noktası olan) kapalı sınırlı aralıkların bir topluluğu ve $F:\cal{A}\to \mathbb{R}$, her aralığı aralığın uzunluğuna gönderen fonksiyon olsun. 

$F([a,b])=\int_a^b 1\,dx$ olur.

Aslında bu tür $F$ ler (in hemen hemen tümü) bir çeşit integraldir.

$X$ sonlu bir küme, $(G,+)$ bir abelyen grup ve $f:X\to G$ fonksiyonu için $\int_Xf(x)\, dx=\sum_{x\in X}f(x)$ olarak tanımlarsak:

1. Sonlu kümelerin eleman sayısı fonksiyonu $F:\cal{A}\to \mathbb{N}$ de

$s(X)=\int_X1\,dx$

2. $\cal{A},\ \mathbb{R}$ nin sonlu alt kümeleri topluluğu ve $F:\cal{A}\to\mathbb{R}$, $F(X)=X\textrm{ in elemanlarının toplamı}$ da böyle bir integral olarak yazılabilir. $F(X)=\int_Xx\, dx$ olur.