Bir ABC üçgeninde iç bölgeden alınan bir P noktası için |BP|+|CP| toplamının en geniş aralığı?

Question

Bu tarz sorularda genelde toplamin alabileceği  en küçük ve en büyük tam sayi değerleri soruluyor ve

 |BC|<|BP|+|CP|<|AB|+|BC|aralığında deniliyor.Ben bir ucgen cizip icerde alacağım bir P noktasında toplam çin bu eşitsizliği yazabilirim.Ama önemli olan bu aralıktaki her degeri aliyor mu?Alıyorsa bu durum nasıl gösterilir?

Comments

Tersini göstermen gerekmiyor.

Ama cevabında eksik bir nokta var aralığın diğer uç noktasını da belirtmelisin:

(Onu belirttikden sonra)

Şunu göstermek yeterli:

"O aralıkdaki her  z sayısı için, |BP|+|CP|=z olacak şekilde en az bir P iç noktası vardır."

---

Aslinda sorum hatalı oldu hocam, bu tarz sorularda genelde toplamin alabileceği  en küçük ve en büyük tam sayi değerleri soruluyor ve  BC<z<AB+BC aralığında deniliyor.Ben bir ucgen cizip icerde alacağım bir P noktasında z için bu eşitsizliği yazabilirim.Ama önemli olan bu aralıktaki her degeri aliyor mu?

---

Genellikle o cevap yeterli görülüyor ama aslında yeterli değil. O aralıkdaki her değeri aldığını da göstermek gerekir. Sen yine de o aralıktaki her değeri aldığını göstermeyi denesen iyi olur.

---

Hocam denediğim ve başarılı olamadığım için soruyu soruyorum:)Cosinüs teoreminden yararlanmaya çalıştım ama bir sonuca ulaşamadım.Sizin bu konuda önerebileceğiniz bir yol var mı?

---

İki noktaya uzaklıkları toplamı verilen bir sabite eşit olan noktalar nasıl bir küme oluşturur, bir fikrin var mı?

---

Hayır hocam henüz analitik geometriye yeterince hakim değilim.

---

ip kalem ve raptiyeyle cizsene ?

---

Biraz uzun ama basit bir çözüm yolu (daha üst düzey bilgi gerektiren daha kısa çözümler var):

$|BC| <z<|AB|+|AC|$ şeklinde bir $z$ gerçel sayısı alalım.

$|PB|+|PC|=z$ olacak şekilde, $ABC$ üçgenini bir ($P$) iç noktası bulamalıyız.

$z=x+y$ ve $x<|AB|,\ y<|AC|$ olacak şekilde $x,y$ sayıları bulabilir miyiz?

(bulabiliyorsak)

$B$ merkezli $x$ yarıçaplı çember ile $C$ merkezli $y$ yarıçaplı çemberler (teğet olmayıp) kesişir mi?

(Kesişiyor ise) kesişme noktalarına  $P, Q$   diyelim.

$|PB|+|PC|$ ve $|QB|+|QC|$ yi hesaplayabilir misin?

$P$ ve $Q$ noktalarından (sadece) birinin $ABC$ üçgeninin bir iç noktası olduğunu gösterebilir misin?

---

Aslında, $|PB|+|PC|<|AB|+|AC|$ olduğu  aşikâr mı?

---

Anladım çok teşekkür ederim.Hocam bir de bu durumu dışbükey cokgenler için genellediğimizde kanıtı bu durumdan yararlanmak dışında daha pratik bir yolla yapmak mümkün mü?