$|z-1-i| + |z+2-3i| + |z+3+2i|$ toplamının en küçük değeri

Question

$z = x+iy$ ve $i = \sqrt{-1}$ olmak üzere  $$|z-1-i| + |z+2-3i| + |z+3+2i|$$ toplamının en küçük değerini bulunuz.   

Sorunun Fermat-Toriçelli noktasına dayanan geometrik bir çözümünü biliyorum. Bundan farklı bir çözüm mevcut mu diye sormak istedim.Geomania sitesinin eski bir sorusudur.

Comments

Öyle $z=x+iy$ veya $\mathbb R^2$'da öyle $(x,y)$'ler seçelim ki bu ifade en küçük olsun(olabiliyorsa ki olur çünki alttan 0 ile sınırlı).
Denklemleri çemberlere çevirince soru şuna düştü, merkezleri $(1,1),(-2,3),(-3,-2)$ 'de olan 3 çember düşünelim, verilen denklem bu çemberlerin yarıçaplarını verdiği için seçilebilecek minimum yarıçapları seçmeliyiz, ama bunu seçerken bu çemberlerin 3ü de kesişmesi lazım (ki $(x,y)$ bu üç çemberde bulunsun) ama bu mantıkla düşününce tüm olay fermat toriçelliye düşüyor(daha önceden bilmiyordum googleden bakınca geometrik olarak denkler galiba).

2. method bunları çok değişkenli calculusle çözmek olabilir belki, local minimumları araştırabiliriz. Bu yöntem ile wolfram çözümü veriyor: https://www.wolframalpha.com/input?i=local+minimum+of+%28x-1%29%5E2%2B%28y-1%29%5E2%2B%28x%2B2%29%5E2%2B%28y-3%29%5E2%2B%28x%2B3%29%5E2%2B%28y%2B2%29%5E2

Yanlış hesaplatmadıysam $(x,y)=\left(\frac{-4}{3},\frac 2 3\right)$, ama kategori orta ögretim oldugu için çok değişkenli calculus uygun değil.

---

$(x,y)=\left(\frac{-4}{3},\frac 2 3\right)$  noktasının çember merkezlerine uzaklıkları toplamını  $\dfrac{1}{3}\sqrt{53}+\dfrac{5}{3}\sqrt{2}+\dfrac{1}{3}\sqrt{89}\approx7,93$ olarak hesapladım. Bu toplamın bulunduğu aralığı veren bir eşitsizlik var. Buna göre benim bulduğum değer $\sqrt{32+17\sqrt{3}}\approx7,83$ . Yuvarlamaları hesaba katmazsak sanırım doğru.

---

Kullandığım eşitsizlik şu:

$Z_1=1+i$, $Z_2=-2+3i$,  $Z_3=-3-2i$ olarak alalım.

$z=x+iy$ noktasının  $Z_1Z_2Z_3$ üçgeninin köşelerine olan uzaklıkları toplamına  $T$ , $|Z_1Z_2|=a,|Z_2Z_3|=b,|Z_1Z_3|=c$  ve $Alan(Z_1Z_2Z_3)=S$ dersek  $$\dfrac{1}{\sqrt2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+4S\sqrt{3}}\le T\le max \{a+b,a+c,b+c\}$$ eşitsizliği vardır (Matematik Dünyası 2004 Bahar Sayısı). Bunun kanıtını müsait bir zamanda siteye aktarabiliriz.