$(t,t^2,t^3)$'lerden oluşan küme cebirsel midir?

Question

Başlıkta belirttiğim gibi: $k$ bir cisim olsun,

$X=\{(t,t^2,t^3)|t\in k\} \subseteq \mathbb{A}^3 (k)$ bir cebirsel altküme midir?

Yani bir $I \triangleleft k[X,Y,Z]$ ideali için $V(I)=X$ midir?

($V(I)=\{P|$her$ f \in I $için$ f(P)=0\}$)

$X^6-Y^3-Z^2$ polinomunu denedim, polinomun varyetesi $X$'i kapsıyor, bir şeylerle kesiştirmeye çalıştım ama neyle kesiştireceğimi bulamadım.

Comments

Ikinci koordinat, ilkinin karesi mi olmak zorunda?

---

Evet, $(t,t^2,t^3)$ şeklinde parametrize edilmiş. Benim gördüğüm cebirsel kümeler genelde içinde yaşadığı uzaydan bir boyut eksik oluyordu, bu iki boyut eksik.

---

Aslında benim yorumum soru değil ipucuydu. Daha açık söyleyeyim:

$X$ kümesi, ikinci koordinatı ilkinin karesi olan ve üçüncü koordinatı ilkinin küpü olan noktalar kümesidir.

Bu cümle her şeyin anahtarı.

---

Bundan hareketle yazdığım polinomu düşündüm ama ilerleyemedim.

---

$X$ kümesi öyle $(x,y,z)$'lerden oluşuyor ki ikinci koordinat (y) ilkinin (x'in) karesi, üçüncü koordinat da ilkinin küpü.

Bu cümle sana iki tane polinom veriyor. Bu iki polinomu görebiliyor musun? Cümlenin içinde saklı.

Cevabı direkt vermek istemiyorum çünkü kendin görmen önemli bence.

---

Sanırım anlıyorum, tek polinom yerine iki polinom kullanmam gerekiyor, $X^2-Y$ ve $X^3-Z$ gibi. Bu iki poinomun varyetesi $X$'i kapsıyor, evet. Eşit olduğunu göstermeye çalışayım, tabii öyleyse.

Burada $k[X,Y,Z]$'nin PID olmaması önem kazanıyor anladığım kadarıyla.

---

Evet, önem kazanıyor.

Bu arada yukarıda ilk yorumunda söylediğin "genelde benim gördüğüm cebirsel kümeler" ile başlayan kısmı tekrar düşünmeni tavsiye ederim :) çünkü büyük ihtimalle cebirsel kümelerle tanıştığın ilk ders olan lineer cebir dersinde Rank'i 1'den büyük matrisler görmüş olmalısın?

---

Daha çok az cebirsel küme örneği gördüm, ama biraz düşününce söylediğim yanlış olmalı. Çünkü tek bir nokta da cebirsel bir küme.

Sezgilerim hâlâ içinde yaşadığı uzayın boyutundan küçük boyutlu bir manifold olması gerektiğini söylüyor. Ne kadar doğru bilmiyorum açıkçası.

$V(\langle X^2-Y, X^3-Z \rangle)=X$ olması gerektiğini anladım. Yaklaşımınız için çok teşekkür ederim.

---

Homojen lineer sistemler gördüysen lineer cebir dersinde, onlar da birer cebirsel küme değil mi?

---

Evet, cebirsel küme.

---

@teomanof bana özel mesaj göndermişsin ama sana cevap yazamıyorum. Dediğin soruyu bulamadım.