Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
620 kez görüntülendi
3 ile bölünebilen 7 basamaklı kaç tane polidrom sayı vardır ?

Hocalarkm kitaptaki çözümü alttaki gibidir.

Soldan ilk kutucuğa {1,2,...,9} rakamlarından biri 9 farklı, ikinci ve üçüncü kutulara {0,1,2,...,9} rakamlarından biri 10 farklı şekilde yazılabilir. Ortadaki kutucuğa da 10 farklı rakam yazdığımızda 9000 farklı sayı yazılabilir. Bunlardan 9000:3=3000 tanesi 3 ile bölünebilen polidrom sayı olur.

Soldan ilk dört basamağın belirttiği dört basamaklı 9000 sayı ardışık sayılar olduğundan bu 9000 sayının 3 te biri 3 ile bölünür diyoruz.

Hocalarım benim anlamadığım sondaki cümledir. Çünkü ilk 4 basamağın 3 ün katı olsa bile son 3 basamak 3 ün katı olmayabilir. Eğer yanlış anladıysam ne demek istediğini anlatabilir misiniz ? Hocalarım başka çözüm yolu var mıdır?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (117 puan) tarafından  | 620 kez görüntülendi
Demek istediği 9000 tane polindrom sayı var. (diğer  basamakları da katabilirsin sonuçta ayna simetirsi)
Sonraki iddiası bu sayıların 3 ile bölünme altında homejen gibi davranması.

Sence homejen mi?
Hocam 3 ile bölünme altında türdeş davranması ile neyi kasttettiniz ? Ben o kısmı anlayamadım.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Biraz uzun ama eksiksiz çözüm. (yazmış olduğun çözümde açıklanması gereken adımlar var)

İstenen sayıları, önce son üç basamağını kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulup, daha sonra, ortadaki rakamı, sayımız 3 e bölünecek şekilde seçerek oluşturduğumuzu düşünelim.

Palindrom sayının son (en sağdaki) üç rakamından oluşan sayı (soldaki 0 ları da yazarsak) 001 ile 999 arasında son rakamı 0 olmayan sayılar ($9\times10\times10=900$ farklı durum) olur.

Bunların 300 tanesi 3 e tam bölünür. Rakamları toplamı da 3 e tam bölünür.

(Bunu şöyle görebiliriz: 001 ile 999 arasında, 3e tam bölünen 333 tane var. Sonu 0 ile bitenler: (sağdaki 0 ı yazmayınca: 01,02,..,99) 99 tane, bunlarda 33 tanesi 3 e tam bölünür. Onları atıyoruz, geriye 333-33=300 tane kalıyor.)

300 tanesinin 3 e bölümünden kalan 1 olur. Rakamları toplamı da, 3 e bölündüğünde 1 kalanı verir.

(Bu da aynı şekilde bulunuyor)

300 tanesinin 3 e bölümünden kalan 2 olur. Rakamları toplamı da, 3 e bölündüğünde 2 kalanı verir.

(Bu da aynı şekilde bulunuyor)

Baştaki (soldaki) 3 rakamı bunların aynısı (tersine sırada)  olacağı için:

300 tanesinde ilk 3 ve son 3 rakamların toplamı da 3 e tam bölünür. (0+0=0)

300 tanesinde ilk 3 ve son 3 rakamların toplamı da 3 e  bölündüğünde 2 kalır. (1+1=2)

300 tanesinde ilk 3 ve son 3 rakamların toplamı da 3 e  bölündüğünde 1 kalır. ($2+2\equiv1 \mod3$)

(sanırım Sercan ın "simetri " ile kastettiği bu üçünün eşit sayıda olması)

Her bir durum için, sayının 3 e bölünebilmesi için, ortadaki rakamı kaç şekilde seçebileceğimizi bulalım:

İlk durumda ortadaki rakam: 0,3,6,9 olabilir (4 durum)

İkinci durumda ortadaki rakam: 1,4,7 olabilir (3 durum)

Üçüncü durumda ortadaki rakam: 2,5,8 olabilir (3 durum)

Toplam durum sayısı:

$300\times4+300\times3+300\times3=300\times10=3000$

 

(5.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Hocam çok teşekkür ederim. Elinize sağlık.
19,119 soru
21,037 cevap
69,880 yorum
23,362 kullanıcı