Permütasyon Sorusu

Question

Bir haritadaki 12 şehrin 4 ü kırmızıya, 3 ü sarıya, 5 i maviye kaç farklı şekilde boyanabilir?

Cevap=12!/4!.5!.3!

Hocalarım pek bir şey anlayamadım. Rica etsem sade bir şekilde çözümü anlatır mısınız ?

Comments

Diyelim ki önce kırmızıya boyayacağımız  $4$ şehiri seçeceğiz.(Tabii ki ilk seçimde sarıya boyayacağımız şehirleri ya da maviye boyayacağımız şehirleri de seçebilirdik. Bunun önemi yok.) Bu seçim $C(12,4)$ farklı biçimde yapılır. Kalan $8$ şehirden de diğer renkler için seçim yapılarak devam edilmelidir.

---

Hocam bir sınıf mevcudu 10 olan bir sınıfta 1 başkan ve 1 yardımcı seçerken önce hangisini seçeceğimizi bilmiyoruz. Bu yüzden 2 farklı durum vardır. Ve (10,2).2=90 farklı seçim yapabiliriz. Hocam üstteki soruda 3! farklı seçim yapabiliriz. Üstte 3! ile çarpmamız gerekmez mi ? Burayı tam olarak anlayamadım hocam.

---

Neden $3!$ farklı seçim olduğunu düşündün? Burada önce şehir seçiliyor. Seçim sayısına göre(5 için mavi, 4 için kırmızı, 3 için sarı renk kullanılıyor.) kullanılacak boya rengi belirlenmiş durumda. Boya için herhangi bir seçimi söz konusu değil ki.

---

M:Mavi K:Kırmızı S:Sarı

Hocam önce hangisini seçeceğimiz ile ilgili 6 durum var.

MKS , MSK , KSM , KMS , SKM , SMK

Önce maviyi , sonra kırmızı , en son sarı seçmek ile önce mavi , sonra sarı , en son kırmızı seçmek farklı değil midir ? Hocam fazla soru sorduğum için kusura bakmayın.

---

Önce maviyi sonra kırmızıyı ve en son sarıyı seçelim. Yani sizin gösteriminizle $MKS$  durumu için $C(12,5).C(7,4).C(3,3)=\frac{12!}{5!.4!.3!}$ kadar farklı boyama durumu vardır. Mesela $KSM$ gösteriminiz için; $C(12,4).C(8,3).C(5,5)=\frac{12!}{5!.4!.3!}$ durum vardır. Görüldüğü gibi ikisi (hatta üşenmeden hesaplarsan hepsinin) aynı olduğunu görebilirsiniz.  Yani 6 farklı durum söz konusu değil. Tek bir durum söz konusudur.