Question

Eger $|G|=120$ ise $G$'nin $[G:H] \leq5$ sartini saglayan bir altgrubu ($H \neq G$) vardir.

Comments

Bir şey eksik herhalde. $H=G$ alsak olmuyor mu?

---

duzenledim. tesekkur ederim.

Answer 1

Eger $G$'nin Sylow $2$-altgruplari normalse, $G$'nin bir Sylow $3$ ya da $5$-altgrubuyla carparak istenilen altgrubu elde edebiliriz. Bundan dolayi olmadigini varsayalim. Sylow Teoremi'ni kullanarak $n_2 = 3, 5, 15$. Ancak $n_2 = 3, 5$ ise Sylow $2$-altgruplarinin normalleyeninin indeksi $3$ ya da $5$ olmali. O halde $n_2$'nin 15 oldugunu varsayabiliriz. Benzer sekilde $n_5 = 6$ oldugunu da varsayabiliriz.

Simdi herhangi $2$ Sylow $2$-altgrubunun kesisimlerinin eleman sayisina bakalim. Eger tum kesisimlerin eleman sayisi $1$ ise mertebesi $2$ ile bolunen $15*7 = 105$ eleman var. Mertebesi $3$ ya da $5$ olan elemanlari da kattigimizda toplam sayinin $120$'yi astigini goruruz ki bu mumkun degil. 

O halde kesisimlerinin eleman sayisi $2$ ya da $4$ olan iki Sylow $2$-altgrubu, $P$ ve $Q$, bulunabilir. $|P \cap Q| = 4$ ise, iki grup da $P \cap Q$'yu normalleyeceginden 

$|N_G(P \cap Q)| > 8$. $N_G(P \cap Q) \neq G$ ise isimiz bitti. O halde $P \cap Q \triangleleft  G$ oldugunu varsayabiliriz. Bu durumda bolum grubunu alarak problemi mertebesi $30$ olan bir grup icin cozmek yeterli. Mertebesi $30$ olan bir grubun mertebesi $15$ olan bir altgrubu oldugunu size birakiyorum. (Grubun carpmayla kendi uzerindeki grup etkisinde mertebesi $2$ olan bir elemanin 'tek sekilde' etki ettigini gosterin.) 

Artik $|P \cap Q| = 2$ oldugunu varsayabiliriz. Eger $P\cong D_8$ degilse $P \cap Q$ $P$ ve $Q$ tarafindan merkezlenir. O yuzden normalleyeninin $G$ oldugunu varsayabiliriz. Simdi $P \cong D_8$ oldugunu varsayalim. $P$ ve $Q$'nun mertebesi $4$ olan ve $P \cap Q$'yu iceren birer altgrubunu alalim, bu gruplara $H$ ve $K$ diyelim. $H$ ve $K$, $P \cap Q$'yu normallediklerinden $|N_G(P \cap Q)| >= 8$. $|N_G(P \cap Q)| = 8$ ise $R = HK = N_G(P \cap Q)$ olsun. $H$ ile ayni ozelligi tasiyan bir $H' \neq H$ oldugunu varsayarsak $H'K = HK$'den $HH'K = H^2K = HK$ celiski verir. Onun icin bu durumda da $N_G(P \cap Q) = G$ oldugu varsayilabilir. 

Simdi $G/{(P \cap Q)}$'nin indeksi $5$'ten kucuk olan bir ozaltgrubunu bulmak yeterli. Onu da size birakiyorum :-)