$r$ ve $s$ $\in \mathbb{Z}^+ $ olsun. Hangi koşul altında $r$ ve $s$'nin en küçük ortak katı $rs$'dir?

Question

koşula ebob$(r,s)=1$ sağlanması dedim. kanıtım şu şekilde:

ekok$(r,s)=p$ olsun.

$rs=p$ olduğunu göstermeliyiz.

$p=rh=sk$ olacak şekilde $h,k \in \mathbb{Z}^+vardır.$

$h=\frac{sk}{r}$ olduğundan $r$ $k$'yı böler.

$\frac{rh}{k}=s$ dir. $k$ $h$'ı bölseydi $\frac{s}{r}=\frac{h}{k}$ eşitliğinden dolayı $r$ $s$'yi bölmeliydi.

öyleyse $k$ $r$'yi böler ve $k=r$'dir. Benzer şekilde $s=h$'dir öylseyse $p=rs$'dir.

Comments

k nın rh yı bölüyor olmasından r yı veya h yı bölüyor olacağı her zaman doğru olmaz. Bazan doğrudur.

Bir de , karşıtını kanıtlayabilir mısın?

---

doğru...

karışıtını kanıtlayayım.

ekok$(r,s)$=rs olsun ama ebob$(r,s) \neq 1 $ kabul edelim.

$s_i $ ve $r_j$'ler asal olmak üzere

$s=s_1...s_n$,$r=r_1...r_m$

varsayım gereği en az bir $r_j=s_i$'dir. $s_1=r_1$ diyelim. o halde $r_1(r_2...r_m)(s_2...s_n)=r(s_2...s_n)$ bulunur. hem $r$ hem $s$ $rs$'den küçük olan bu sayıyı böler ve hipotezimizle çelişiriz.

 hatta genelleyeyim: k tane çarptan ortaksa $r_k=s_k,...r_2=s_2, r_1=s_1$ mesela, o zaman $r(s_{k+1}..s_n) < rs $ hem $r$ hem $s$ tarafından bölünür.