$a,b>0$ tam sayilar olmak uzere, gosteriniz: $a$ ve $b$ sayisinin en kucuk ortak kati $a$ ve $b$ sayisina tam bolunen her sayiyi boler.

Question

$a,b>0$ tam sayilar olmak uzere, gosteriniz: $a$ ve $b$ sayisinin en kucuk ortak kati $a$ ve $b$ sayisina tam bolunen her (pozitif) sayiyi boler.

Sitede var mi bilmiyorum ama gerekli bir soru. Ekok en kucuk ortak kat oldugundan her iki sayiya bolunen sayi ekok'tan buyuk esit olmali. Fakat bolmesi daha guclu. Bunu belki hissediyoruz fakat ispatini nasil yapariz?

Comments

En küçük ortak kat tanımı bu değil mi?  Yanı; soru en küçük ortak katın varlığı ve tekliği mi?

---

Hayir. En kucuk ortak katin diger katlari bolecegi. Tanim $\leq$ iceriyor, $\mid$ degil. 

---

Tanım olarak böler ile de veriliyor. Bildigin tanimi yazabilir misin? 

---

Tanimi yukarida yazdim aslinda: $a$ ve $b$ sayisina tam bolunen en kucuk pozitif tam sayi. Tanim bu kadar.

---

$c=ekok(a,b)$ olsun. Bu durumda $a\mid c$ ve $b\mid c$. $a$ ve $b$'nin bir başka böldükleri sayı $d$ olsun. $c=ax=by$ olacak şekilde $x,y\in \Bbb{Z}^{+}$ var. Buradan $a=\frac{c}{x}$ ve $a\mid d$ olduğundan $d=at=\frac{c}{x}t$ yani; $c\mid d$ diyebiliriz.

---

hep aklım duale yani; en büyük ortak bölene gidiyor.

---

$t/x$ tam sayimi peki? Onu da soylemek gerekir.

Answer 1

$a$, $b$'nin en küçük ortak katı $m$ olsun. Bu durumda $a\mid m$($m=as$) ve $b\mid m$($m=bv$) olacak şekilde $s,v\in \Bbb{Z}$ vardır. Kabul edelim ki; $a$ ve $b$'nin bir başka ortak katı $n$ olsun. Buradan $a\mid n$ ($n=at$) ve $b\mid n$($n=bu$) olacak şekilde $t,u\in \Bbb{Z}$ vardır. İddia; $m\mid n$ midir? Bölüm algoritması gereğince $n=mq+r$ ve $0\leq r<m$ olacak şekilde tek türlü belirli $q,r\in \Bbb{Z}$ vardır. Buradan $r=n-mq=at-asq=a(t-sq)$ ve $r=n-mq=bu-bvq=b(u-vq)$ elde edilir. Bu ise $a\mid r$ ve $b\mid r$ olur ki; $m$'nin seçiminden $r=0$ yani; $n=mq$ ve $m\mid n$ elde edilir.