Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
544 kez görüntülendi

Yalnızca $1, 2, 3$ rakamları kullanılarak, ilk ve son basamaklarında aynı rakam yer alan ve herhangi ardışık iki basamağında aynı rakam yer almayan kaç farklı $10$ basamaklı pozitif tam sayı yazılabilir? 


\textbf{a)}\ 768
\qquad\textbf{b)}\ 642
\qquad\textbf{c)}\ 564
\qquad\textbf{d)}\ 510
\qquad\textbf{e)}\ 456
$

 

 

Kaynak: Tübitak Lise Matematik Olimpiyatı 1. Aşama Soru 32. (Sevdiğim bir problemdir, bir süre sonra ben de çözümümü ekleyeceğim.)

 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 544 kez görüntülendi
list = Permutations[ Flatten@{ConstantArray[1, 5], ConstantArray[2, 5],    ConstantArray[3, 5]}, {10}];
list = Cases[list, {1, 2 | 3, __, 2 | 3, 1}];
3 Length@Complement[list, Cases[list, {__, x_, x_, __}]]

510

 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Yanıt: $\boxed{D}$

 

Daha önce şurada daire diliminin boyanması problemini çözerek $n\geq 4$ için $a_{n+1}+a_n = k\cdot (k-1)^{n-1}$ indirgeme bağıntısını ve $a_n = (k-1)(-1)^n + (k-1)^n $ açık biçimini elde etmiştik.

 

Yukarıdaki problemde de $1,2,3$ rakamlarını kullanarak istenen özellikte yazılabilecek $n$ basamaklı sayıların sayısını $b_n$ ile gösterelim. Bizden istenen $b_{10}$ değeridir. İlk basamak ile $n$-inci basamak aynı olması istendiğinden, ilk basamak belirlendiğinde $n$-inci basamak da belirlenmiş oluyor. Bu sebeple ilk $n-1$ basamakla ilgilenmeliyiz. Daire dilimi boyama problemi ile ikişki kurarsak, $1,2,3$ rakamları ile $n-1$ basamaklı sayı yazma problemi $k=3$ renk ile $n-1$ daire dilimini boyama ile özdeştir. Bu sebeple $n-1$ basamağın belirlenme sayısı $b_n = a_{n-1}$ dir. O halde problemimizin çözümü $a_9$ olacaktır. $k=3$ iken

$$ a_n = 2\cdot (-1)^n + 2^n $$

olup $a_9=2\cdot (-1)^9 + 2^9 = -2 + 512 = 510$ bulunur.

 

 

Not:

Ayrıca daha fazla uygulama problemiyle ilgilenenler için Burada video olarak şunları sundum:

1. $a_{n+1}+a_n = k\cdot (k-1)^{n-1}$ bağıntısının ispatı

2. 2019 JEE (Joint Entrance Exam) isimli sınava ait bir problemin çözümü

3. 2013 Tübitak Lise 1. Aşama 32. sorunun çözümü

4. Çetin ceviz bir kombinatorik problemin çözümü

(2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,248 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,140,270 kullanıcı