2 farklı eğrinin dönel cisim hacmini hesaplama

Question

2x = 4- y^2  ile   2x = y^2 -4 eğrileri tarafından sınırlanan  bölgenin  x = -3 doğrusu
etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cismin hacmini hesaplayınız.

 

Çemberin hacmi ya da alanını soruyor olsa yapabilirim fakat 2 farklı eğri olduğu için yapamıyorum yardım edebilir misiniz?

Eğriler grafikte  -2 ve +2 noktalarında kesişiyor fakat nasıl yapmam gerektiğini bilmiyorum.

Comments

Düzeltme:Eğrilerden (senin seçeceğin) biri , $y=\pm2$ doğruları ve $x=-3$ doğrusu arasında kalan bölgenin dönmesiyle oluşan hacmi bulabilir miisin?

Answer 1

$2x = 4 - y ^2$

$2x = y^2 - 4$

İki denklem taraf tarafa toplanırsa

$4x = 0$  

$x = 0$ bulunur. Bu durumda $y = 2$ ve $y = - 2$ olarak y ekseninde kökler bulunur.

$\pi \int f(y)^2 dy $ disk formülünden ya da yarıçapları bularak yazılacak

$\pi \int (r_2)^2 - (r_1)^2 dy $

$r_2 = \frac{4 - y^2}{2} + 3$

$r_1 = \frac{y^2 - 4}{2} + 3$

$\int_{-2}^{2} (\frac{4 - y^2}{2} + 3)^2 -  (\frac{y^2 - 4}{2} + 3)^2dy $

= $\pi\int_{-2}^{2} (\frac{4 - y^2}{2} + 6\frac{4 - y^2}{2} + 9) -  (\frac{y^2 - 4}{2} + 6\frac{y^2 - 4}{2} + 9)dy$

= $\pi\int_{-2}^{2} 12\frac{4 - y^2}{2}dy $

= $6\pi\int_{-2}^{2} {4 - y^2}dy$

= $6\pi\int_{-2}^{2} {4 - y^2}dy$

= $6\pi\biggl({4y-\frac{y^3}{3}}\bigg\vert_{-2}^{2}\,\biggr)$

= $6\pi(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}  - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3)}{3})$

= $64\pi$ bulunur.