$x+y$, $x-y$, $x.y$, $\dfrac{x}{y}$ ve $\dfrac{y}{x}$ sayılarının irrasyonel olduğunu gösteriniz.

Question

$x$ rasyonel,  $x\neq0$ ve $y$ irrasyonel olsun,  $x+y$,   $x-y$,   $x.y$,   $\dfrac{x}{y}$  ve  $\dfrac{y}{x}$ sayılarının irrasyonel olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$x$ rasyonel, $y$ irrasyonel ise $x+y$ nin rasyonel olduğunu gösterelim.

$x+y$ nin rasyonel olduğunu düşünelim.

$x+y=\dfrac{p}{q}(p,q\in Z,q\neq0)$ $x$ rasyonel olduğundan $x=\dfrac{r}{s}(s\neq0)$ olacak şekilde $r,s\in Z$ vardır.

$\Rightarrow$ $\dfrac{r}{s}+y=\dfrac{p}{q} \Rightarrow y=\dfrac{p}{q}-\dfrac{r}{s}=\dfrac{sp-qr}{qs}$  $(qs\neq0)$ olur ki bu $y$ nin rasyonel sayı olduğunu gösterir. Bu ise hipotez ile çelişir. Öyleyse $x+y$ irrasyoneldir.

 

$x$ rasyonel, $y$ irrasyonel ise $-y$ sayısı da irrasyonel olacağından $x+(-y)=x-y$ sayısı da irrasyoneldir.

 

$x$ rasyonel, $y$ irrasyonel ise $x.y$ sayısının da irrasyonel olduğunu gösterelimm.

Bir an için $x.y$ nin rasyonel olduğunu düşünelim. O halde $x.y=\dfrac{p}{q}(q\neq0)$ olacak şekilde $p,q\in Z$ vardır. $x$ rasyonel olduğundan $x=\dfrac{r}{s}(s\neq0)$ olacak şekilde $r,s\in Z$ sayılari vardır. Böylece $\dfrac{r}{s}.y\Rightarrow y=\dfrac{sp}{rq}  (rq\neq0)$ bulunur.

O halde bu ise $y$ nin rasyonel olduğunu gösterir. Bu kabulümüz ile celişir. $x.y$ sayısı irrasyonel bir sayıdır.

Answer 2

Elimizde $x,y\ne 0$ için
$y=(x+y)-x$,          $y=x-(x-y)$,          $y=\dfrac{xy}{x}$,          

$y=(x/y)^{-1}x$,              $y=(y/x)x$

eşitlikleri var.

Rasyonel sayıların cisim olduğu ile biliyoruz. $x$ ile birlikte verilenlerin (ayrı ayrı) rasyonel olduğunu varsayarsak $y$ irasyonel kabulü ile çelişiriz.