Wolframalpha'nın Çözemediği Denklem

Question

Soru (Lokman Gökçe): $3xy^2 +y(x+2)^2+(x+2)^2=0 $ denklemini sağlayan tüm $(x,y)$ tam sayı ikililerini bulunuz.

 

 

Not: Denklemi Burada Wolfram'a sordum ve yalnızca $(x,y)=(-2,0)$ çözümünü veriyor. Halbuki $(0,-1)$ ikilisi de bir çözümdür. Wolfram'ın neden denklemin tüm çözümlerini bulamadığı hakkında fikirlerinizi de belirtebilirsiniz.

Comments

$x$ ve $y$ icin tanim araligini kisitlarsak cozuyor.. Wolfram  Veya soyle de girebilirsiniz Wolfram 2

 

Bu arada Mathematica kisitlama olmadan cozuyor denklemi

Answer 1

Polinomu $y$ cinsinden $\mathbb{Z}[x]$ üzerine ikinci dereceden bir polinom olarak görün. Diskriminant'ı bir tamkare olmalı, yani $x^2-8x + 4$ bir tamkare olmalı. Demek ki bir $z\in \mathbb{Z}$ için $x^2-8x + 4 = z^2$ olmalı. Bu da $(x-4)^2-12 = z^2$, yani $(x+z-4)(x-z-4)=12$ demek. Şimdi 12'yi çarpanlarına ayıralım: $12 = ab$. (Böyle 12 adet $(a,b)$ çifti var.) Demek ki $x+z-4 = a$ ve $x-z -4 =b$ olmalı. Bu denklemlerin tamsayı çözümü bulunup teker teker denenebilir.

Comments

Cevabınız için çok teşekkürler değerli hocam. Belirttiğiniz gibi, diskriminant fikriyle problemi kurguladım. Detayları doldurayım. Az daha ilerletirsek $z\geq 0$ kabulü çözümün genelliğini bozmaz. $x-4 + z \geq x-4 -z $ olur. Ayrıca $x-4 + z$ ve $x-4 -z $ sayılarının paritelerinin aynı olduğu görülürse yalnızca

$$ \begin{equation}\ \begin{array}{lcl} x-4-z&=& 2\\ x-4+z&=&6 \\ \end{array} \end{equation} $$

ve

$$ \begin{equation}\ \begin{array}{lcl} x-4-z&=& -6\\ x-4+z&=& -2 \\ \end{array} \end{equation} $$

sistemlerinden $x\in \{ 0, 8\}$ bulunur. $x=8$ için ana denklemden $y$ tam sayı olarak gelmiyor. $x=0$ için $y=-1$ dir.

 

Orijinal problemde belirttiğim $(x,y)=(-2,0)$ çözümü nereye kayboldu diye sorulursa, disktiminant $\Delta = (x+2)^2(x^2- 8x + 4)$ şeklindeydi. Burada $x=-2$ için $\Delta = 0$ olduğundan $(x,y)=(-2,0)$ çözümü de elde edilir. Tüm çözümler $(0,-1)$, $(-2,0)$ olarak bulunur.