Dizinin $100.$ terimi kaçtır?

Question

Pozitif tam sayılar dizisinde $3$ ün tam katlarının atılması sonucunda elde edilen,

                                                                                   $$1,2,4,5,7,8,10, ...$$

dizisinin $100.$ terimi kaçtır?

Comments

Dizinin genel terimi $a(n)=\dfrac{1}{4} \left((-1)^{n+1}+6n-3\right)$ dir ama gosterimi nasil bilmiyorum. wolframalpha

---

$3\cdot \dfrac n2- \dfrac{3+(-1)^{n+1}}{4}$ gibi düşünebilirsin.

Answer 1

Aşağıdaki gibi ytazarsak itenen 100 istenmeyen 50 sayı vardır. Dolayısıyla cevap $149$ olur.\[\begin{matrix} 1 & 2 & {\color{red}3 }\\ 4 & 5 & {\color{red}6 } \\ \vdots &\vdots &{\color{red}\vdots}\\ 148&149&{\color{red}{150}} \end{matrix}\]

Comments

Vay be, öyle uzun bir çözümü vardı ki birazdan yazıcaktım ama vazgeçtim :)

---

Onu da yaz bence.

---

Yan dönmüş biraz ama olsun, aynı resim burada da var :)

Answer 2

İki tane diziye ayıralım

$a_n = 1 ,4 ,7 ,10 . . . $ olsun ve $b_n = 2 ,5 ,8 ,.. . $ olsun

$b_n$ dizisinin genel terimi $3n-1$ dir.Dizinin numarası tek olan terimleri $a_n$ de , çift olanları ise $b_n$ e düşecek.Verdiğim formülde n=50 yazılırsa (neden 50? Diziyi bir nevi ikiye böldüm) 149 bulunur.

Answer 3

İlk $100$ terim içinde $3$ ün katı olan, $\dfrac{99-3}{3}+1=33$ tane terim vardır.

Bunları çıkarıp $100$ ün üzerine $33$ terim ekleyelim.

$100,101,102,...,132,133$ dizi aralağında da $\dfrac{132-102}{3}+1=11$ tane$3$ ün katı olan sayı vardır.

Bunları çıkarıp $133$ ün üzerine 11 tane terim ekleyelim.

$134,135,136,...,143,144$ dizi aralığında $\dfrac {144-135}{3}+1=4$ tane $3$ ün katı sayı vardır.

Bunları çıkarıp $144$ ün üzerine $4$ tane terim ekleyelim.

$145,146,147,148$ dizi aralığında $3$ ün katı olan $147$ yi çıkarıp $148$ in üzerine $1$ terim eklersek son terim($100.$ terim)

$149$ olur.