Fourier Dönüşümü Ve Plancherel Teoremi Sorusu

Question

$\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin\left(at\right)\sin\left(bt\right)}{t^2} = \pi.\min\{a,b\}$ olduğunu plancherel teoremi yardımıyla kanıtlayanız.

 

Plancherel Teoremi :  $ L^1 \cap L^2 $  uzayı için tanımlı olan bir fourier dönüşümü $L^2(\mathbb{R})$ uzayına bir ve yalnız bir şekilde genişletilebilir ve $<\hat{f},\hat{g}>$ = $2\pi<f,g>$ ve $||\hat{f}||_2^2$ = $2\pi||f||_2^2$  eşitlikleri her $f,g\epsilon L^2$ iiçin sağlanır.

 

Bu kanıtı uzaktan eğitim olduğu için sadece notlara bakarak anlamayadım. Notlar dışında kaynakların hepsi ingilizce olduğu içinde araştırmamdan da bi sonuç alamadım. Bu ispat için yardımcı olabilir misiniz.

Comments

$\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin\left(at\right)\sin\left(bt\right)}{t^2} = \pi , min(a,b)$

formülünde $\pi$ ile $\min\{a,b\}$ çarpılıyor mu?

---

evet bir daha kontrol ettim şimdi çarpım halinde onlar

---

kanıtı burada paylaşıp anlamadıgınız yerını sorabılır mısınız? Hilbert uzaylarında genişlemelerde genelde Riesz's  temsilleme teoreminden çıkıyor yani motivasyon kaynagı olarak.

---

 

İspatı bu şekilde yapıyorum ancak okla belirttiğim yere geçiş nasıl oluyor bir fikrim yok sadece olması gerektiği gibi yazdığımda ispat sonucu çıkıyor ancak ordan oraya geçisin bir açıklamasını bulmadım