$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{P}$ şeklinde verili bir dış çarpımda, $L^2 = r^2 P^2 - (\vec{r} \cdot \vec{P})^2$ olduğunu gösterelim.

Question

$$\vec{r} = (x,y,z)$$
$$\vec{P} = (P_ x , P_y ,P_z)$$

şeklinde tanımlayıp dışçarpımla $\vec{L}$

$$\vec{L} = (y P_z - zP_y , z P_x - xP_z , x P_z - zP_x)$$
 

ve de

$$\vec{L} \cdot \vec{L} = L^2 =  y^2 {P_z}^2 + z^2 {P_y}^2 - 2 yz P_z P_y + x^2 {P_z}^2 + z^2 {P_x}^2 - 2 xz P_z P_x + y^2 {P_x}^2 + x^2 {P_y}^2 - 2 yx P_x P_y$$

olur.

Answer 1

$u,v$ 3-boyutlu uzayda herhangi iki vektör olsun. $\theta$ aralarındaki açı olsun.

$\left\|u\times v\right\|^2=\left\|u\right\|^2 \left\|v\right\|^2\sin^2\theta=\left\|u\right\|^2 \left\|v\right\|^2(1-\cos^2\theta)=\left\|u\right\|^2 \left\|v\right\|^2-(\left\|u\right\|^2 \left\|v\right\|^2\cos^2\theta)=\left\|u\right\|^2 \left\|v\right\|^2-(u\cdot v)^2$

Answer 2

$$\vec{L} \cdot \vec{L} = L^2 =  y^2 {P_z}^2 + z^2 {P_y}^2 - 2 yz P_z P_y + x^2 {P_z}^2 + z^2 {P_x}^2 - 2 xz P_z P_x + y^2 {P_x}^2 + x^2 {P_y}^2 - 2 yx P_x P_y$$

ifadesine $$(x^2 {P_x}^2 + y^2 {P_y}^2 + z^2 {P_z}^2) - (x^2 {P_x}^2 + y^2 {P_y}^2 + z^2 {P_z}^2)$$ ekleme çıkarmasını yapıp ifadeyi

$$\vec{L} \cdot \vec{L} = L^2 =  y^2 {P_z}^2 + z^2 {P_y}^2 - 2 yz P_z P_y + x^2 {P_z}^2 + z^2 {P_x}^2 - 2 xz P_z P_x + y^2 {P_x}^2 + x^2 {P_y}^2 - 2 yx P_x P_y  + (x^2 {P_x}^2 + y^2 {P_y}^2 + z^2 {P_z}^2) - (x^2 {P_x}^2 + y^2 {P_y}^2 + z^2 {P_z}^2)$$

yazdık. İfadeyi biraz toparlarsak,

$$L^2 = (x^2 + y^2 + z^2) ({P_x}^2 +  {P_y}^2 + {P_z}^2) -  2 yz P_z P_y - 2 xz P_z P_x - 2 yx P_x P_y  - (x^2 {P_x}^2 + y^2 {P_y}^2 + z^2 {P_z}^2)$$

$$L^2 = (x^2 + y^2 + z^2) ({P_x}^2 +  {P_y}^2 + {P_z}^2) - x P_x ( x P_x + y P_y  + z P_z ) -  y P_y ( x P_x + y P_y  + z P_z ) - z P_z ( x P_x + y P_y  + z P_z )$$

$$L^2 = (x^2 + y^2 + z^2) ({P_x}^2 +  {P_y}^2 + {P_z}^2) -  ( x P_x + y P_y  + z P_z ) ( x P_x + y P_y  + z P_z )$$

ifadeyi anlamlandırmak için

$$\vec{r} \cdot \vec{r} = x^2 + y^2 + z^2$$

$$\vec{P} \cdot \vec{P} = {P_x}^2 +  {P_y}^2 + {P_z}^2$$

$$\vec{r} \cdot \vec{P} = x {P_x} +  y{P_y} + z{P_z}$$

ile

$$L^2 = r^2 P^2 -  ( \vec{r} \cdot \vec{P} )^2$$

gözlenir..