Question

$$sin^2\theta+cos^2\theta=1$$ nereden geliyor?

 

Yukarıdaki dik üçgenden faydalanarak $\theta \in (0, \dfrac{\pi}{2})$ $$sin\theta=\dfrac{a}{c}$$ ve $$cos\theta=\dfrac{b}{c}$$ olduğunu ve ayrıca $$c^2=a^2+b^2$$ söyleyebiliriz.

 

Bulduğumuz ifadeleri $$sin^2\theta+cos^2\theta=1$$ özdeşliğinde yerine yazarsak $$(\dfrac{a}{c})^2+(\dfrac{b}{c})^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$$ olur.

 

Dolayısıyla $$\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=1$$ olur.

 

O halde $$sin^2\theta+cos^2\theta=1$$ dir.

 

Comments

Kesin burdan mı geliyor :)

---

Ortaöğretim için kesin burdan geliyordur :)

---

niye kesin burdan mı geliyor dediniz?

---

Sinüs ve kosinüsü, birim çemberin üzerindeki noktaların koordinatları olarak tanımlarsak bu eşitlik Pisagor teoremi.

Answer 1

Sorunun soruluş amacına uygun değil ama olsun, bilgi dağarcığı en nihayetinde.

Teorem. $U \subseteq \mathbb{C}$ bir açık küme ve $f: U \to \mathbb{C}$ sıfırdan farklı holomorfik bir fonksiyon ise $f$'nin sıfır olduğu noktalar kümesi ayrık bir kümedir.

Buna denk olan başka bir teorem.

Teorem. $U \subseteq \mathbb{C}$ bir açık küme ve $f,g: U \to \mathbb{C} $ birbirinden farklı holomorfik iki fonksiyon iseler, $f$'in $g$'ye eşit olduğu noktalar kümesi ayrık bir kümedir.

Kompleks sayılar uzayında sinüs ve kosinüs fonksiyonları ya Doğan Dönmez'in cevabında olduğu gibi kuvvet serileri ile ya da $e^{it} = \cos t + i \sin t$ eşitliğini sağlayacak şekilde tanımlanabilir. Bunlar her yerde holomorfik fonksiyonlardır. Dolayısıyla $f(z) = \cos^2z + \sin^2 z$ fonksiyonu da holomorfiktir. 

Bu $f$ fonksiyonu ayrık bir küme olmayan reel eksende sabit $1$ fonksiyonuna eşit olduğundan dolayı yukarıdaki ikinci teorem gereği her yerde $1$ olmalıdır. Yani eşitlik tüm kompleks sayılar için geçerlidir.

Answer 2

$\sin$ ve $\cos$ fonksiyonları geometrik olarak tanımlandığında (cevap ve yorumlarda görüldüğü gibi) bu özdeşlik olduklça kolay gösteriliyor.

Ama bazan (A. Nesin in Analiz kitabında  olduğu gibi),

$\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ve $\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$

(her iki kuvvet serisi de tüm $\mathbb{R}$ de yakınsaktır) şeklinde tanımlamak tercih edilir.

Bu durumda özdeşliği şöyle gösterebiliriz:

Önce Kuvvet Serilerinin Terim-Terime Türevlenebilmesi Teoreminden,

$\sin'=\cos$ ve $\cos'=-\sin$ olduğu görülür. Buradan

$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$ fonksiyonu için (her $x\in\mathbb{R}$ için) $f'(x)=2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x)=0$ olur.

Ortalama Değer Teoreminden $f$ sabit fonksiyondur.

$f(0)=1$ olduğu aşikardır. Öyleyse

$\forall x\in\mathbb{R}$ için, $\sin^2x+\cos^2x=1$ olduğu gösterilmiş olur.

Comments

Serilerin karelerini alıp topladığımızda, 1 dışında kalan tüm terimlerin kısaldığını göstermek de denenebilir.

---

hocam merhaba, ispatta şu kısmı anlayamadım. Ortalama değer teoremine göre f sabittir.Buraya kadar sorun yok.Daha sonra f(0)=1 ifadesini niye kullandık ? $f(\pi) =1 $ olduğuda aşikar

---

$f$, 0 merkezli bir kuvvet serisi olarak tanımlandığı için, $f(0)$ hesaplamak çok kolay.

Bu tanımdan, $f(\pi)$ yi hesaplamak zor.

---

anladım hocam teşekkür ederim.

Answer 3

$$cos(\alpha-\theta)=sin(\alpha)sin(\theta)+cos(\alpha)cos(\theta)$$

Dönüşüm formülünden yararlanarak

$$\large \sin^2\theta + \cos^2\theta
=\sin\theta\sin\theta+\cos\theta\cos\theta
=\cos(\theta-\theta)
=\cos0
=1$$ elde ederiz.

Comments

Cevabımdaki döndürme kabulü dediğim bununla ilişkili. $\sqrt{(cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta-\sin\alpha)^2}=\sqrt{(cos(\beta-\alpha)-\cos0)^2+(\sin(\beta-\alpha)-\sin\alpha)^2}$ ve $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ olduğunu kabul edersek senin kullandığın eşitliği elde ediyoruz.

Answer 4

Trigonometri öğretilirken genelde yarıçapı 1 br olan bir çember üzerinden gidilir.Burada P noktasının koordinatı $(cos\alpha, sin\alpha)$'dır. Çünkü P 'den x eksenine dik indirdiğimizde kesişim noktasına Q dersek

$|OQ| = |OP| . cos\alpha$ 

olur ve |OP| = 1 olduğundan 

$|OQ| = cos\alpha$

bulunur. Benzer yolla $|PQ| = sin\alpha$ eşitliği de bulunur. 

$|OP| = 1$, $|PQ| = sin\alpha$  ve $|OQ| = cos\alpha$

eşitliklerini bulduğumuza göre ve 

$|OP|^{2} = |PQ|^2 + |OQ|^2$

olduğunu bildiğimize göre

$1 = {sin}^2\alpha + {cos}^2\alpha$

eşitliği kanıtlanmış olur

Comments

$(\cos \alpha,\sin \alpha)$ orijin merkezli birim çember üzerinde dedikten sonra çember denklemini sağlamalı. O kadar işlemi neden yaptın?

---

Daha rahat anlaşılır diye düşündüm ama şimdi anlıyorum ki aşırı işlem yapmışım

---

@Sercan soru "çember denklemi niye öyle" değil mi zaten biraz da?

---

Çemberin denklemi uzaklık tanımından geliyor. Taxicap olsa çember denklemi $|x|+|y|=1$ olurdu.

Soru neden çember üzerinde görüyoruz olsaydı? Cevap 0 - 90 arasını gerçel sayılara genişletme tarzında olabilirdi. Burada da çemberden değil üçgenden başlamak gerekli.

---

Üçgenle çember açı bakımından bağlı olduğundan kısır bir döngüye de girebiliriz :)

Answer 5

Yorum olarak yazacaktım ama cevaba da geçirilebilir:

Yazdığım trigonometri ispat kitabımsı yazıda (hala halka açmadım) bunu kabul olarak veriyorum, yanında (bir iki ufak kabul ile) çevirmeyi de kabul ediyorum. İspatları bu kabuller üzerinden yapıyorum.

Tabii böyle fonksiyonların var olduğunu kabul etmek var olduğu anlamına gelmiyor. Böyle bir fonksiyon varsa Doğan hocanın verdiği fonksiyon oluyor.

Üçgen bilgisi ya da direkt seri yaklaşımı kullanmıyorum. Bu da bir tarz.

Comments

Farkımız tarzımız.

Link var mı kitabımsı yazına? Reklam yapalım.

---

Bu vesile ile bitireyim. Öyle direkt kitabı atayım :)